Fisica 2 - Formulario

Le energie dei fenomeni su scala atomica sono espresse con l’unità di misura “elettronvolt”:

−19

1 = 1,6 ∙ 10

Operatori vettoriali (, , ) (, , ) = + +

Dati un campo scalare ed un campo vettoriale , si

definiscono i seguenti operatori vettoriali:

• Gradiente (): trasforma uno scalare in vettore

• ∙ ):

Divergenza ( trasforma un vettore in uno scalare

• × ):

Rotore ( trasforma un vettore in un vettore

I seguenti operatori sono stati costruiti sfruttando l’operatore vettoriale “nabla” (), definito come:

= + +

Vediamo adesso come si esprimono tali operatori ed i teoremi ad essi associati.

Gradiente

= + +

Teorema del gradiente

(, , ), ∇

Dato il campo scalare il campo vettoriale costruito come è un campo conservativo e dunque

dipende soltanto dalle posizioni iniziali e finali del percorso scelto.

− = ∫ ∙

Divergenza

∙= + +

Teorema della divergenza

(, , ) = + +

Dato il campo vettoriale , il flusso del vettore attraverso la superficie

Σ

che contiene il volume è uguale all’integrale sul volume della divergenza del vettore stesso.

()

Φ = ∫ ∙ = ∫ ∙

Σ Σ

Rotore

×= − + ( + ) + +

( ) ( )

Teorema di Stokes (, , ) = + +

Dato il campo vettoriale , la circuitazione del vettore lungo la linea

Σ

chiusa orientata è uguale al flusso del rotore del vettore stesso attraverso una qualsiasi superficie che si

.

“appoggia” sulla linea chiusa ()

∮ ∙ = Φ = ∫ ( × ) ∙

Σ

Σ

Relazioni integrali e locali del campo elettrostatico

Relazioni fra campo elettrostatico e potenziale in una regione di spazio

Relazione integrale: dal campo elettrostatico al

− = − ∫ ∙

potenziale

Relazione locale: dal potenziale al campo

= − elettrostatico

Quando si utilizza un sistema di “coordinate polari” nel piano, avremo le seguenti relazioni:

= + Spostamento infinitesimo in coordinate polari

1 Campo elettrostatico in coordinate polari

=− −

Relazioni fra campo elettrostatico e potenziale lungo una linea chiusa

Relazione integrale: il campo elettrostatico ha

ℰ = ∮ ∙ = 0 forza elettromotrice nulla, ovvero ha circuitazione

nulla

Relazione locale: il campo elettrostatico,

conservativo, è “irrotazionale”, cioè ha sempre

× = 0 rotore nullo

Potenziale elettrostatico di distribuzioni continue di carica

() = Potenziale elettrostatico di un anello carico

2 2

+

√

2 2

(√

() = + − ) Potenziale elettrostatico di un disco carico

2

0 Differenza di potenziale fra le armature di un

∆ = ℎ

condensatore

0

Dipolo elettrico − +

Due cariche elettriche e distanti costituiscono un dipolo elettrico; si chiama “momento di dipolo

elettrico” il vettore =

con orientato dalla carica negativa a quella positiva.

=

Detto un punto distante dal dipolo e l’angolo formato tra il vettore (che va dal dipolo al

) ≫ )

punto e il momento di dipolo stesso, a grandi distanze dal dipolo ( avremo le seguenti relazioni

(in cui è perpendicolare a ):

∙ cos Potenziale elettrostatico generato dal dipolo

() = =

elettrico nel punto a distanza

2 2

Campo elettrostatico generato dal dipolo elettrico

(2 )

= + = cos + sin

3

nel punto a distanza

Il momento meccanico agente su un dipolo elettrico posto in un punto in cui il campo elettrostatico sia

pari ad è dato da =×

che tende ad orientare il momento di dipolo concordemente al campo elettrostatico. L’energia

potenziale elettrostatica di un dipolo in un campo elettrostatico è data da

()

= − ∙ = − cos

.

dove l’angolo è quello compreso fra ed

Sviluppo in multipoli .

Consideriamo una distribuzione di cariche, positive e negative, limitata da una dimensione Consideriamo

≫ ,

adesso un punto distante dal centro della distribuzione di cariche. Se il potenziale è definito

tramite lo “sviluppo in multipoli”: 1 ∙

() = ) + (∑ ) + ⋯]

[(∑ 2

4

0

dove il termine di monopolo (contributo legato alla carica totale del sistema) è

1 1

() = ∑ =

4 4

0 0

e il termine di dipolo (contributo dovuto al fatto che il sistema complessivo costituisca un dipolo) è

1 ∙ 1 ∙

() = ∑ =

2 2

4 4

0 0

Capitolo 3 – Legge di Gauss Σ

Si definisce flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa la seguente quantità scalare:

Φ() = ∮ ∙ Σ

Per il campo elettrostatico vale la Legge di Gauss: il flusso del campo elettrostatico prodotto da un

sistema di cariche attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche contenute

all’interno della superficie, diviso per :

0

Φ() =

0

Nel caso più generale in cui il campo sia generato da una distribuzione continua di cariche, tale equazione

può essere riscritta come 1

Φ() = ∫

0

Per ottenere la formulazione locale della Legge di Gauss, possiamo applicare il teorema della divergenza

Σ

considerando una superficie chiusa che racchiude il volume in cui è presente la densità volumetrica di

:

carica

∙ =

0

L’Equazione di Poisson che lega il potenziale elettrostatico alla densità di carica è la seguente:

2

∇ ∙ ∇ = ∇ = −

0

Formulazione integrale e locale della Legge di Gauss

Φ() = ∮ ∙ Σ = Formulazione integrale della Legge di Gauss

0

∙= Formulazione locale della Legge di Gauss

0

Equazioni di Maxwell per l’elettrostatica

Formulazione integrale della Legge di Gauss

∮ ∙ Σ = ∫

elettrica

0

Σ

∙= Formulazione locale della Legge di Gauss elettrica

0

La Legge di Gauss costituisce uno strumento molto adatto a calcolare campi elettrostatici di distribuzioni

continue di carica che producono campi elettrostatici con un elevato grado di simmetria.

Campo elettrostatico generato da una distribuzione continua di carica

Distribuzione superficiale sferica di carica

Campo elettrostatico generato da una

=

2

4 distribuzione superficiale sferica di carica

0

Potenziale generato da una distribuzione

= 4 superficiale sferica di carica

0

Sfera uniformemente carica Campo elettrostatico generato da una carica

3

distribuita uniformemente con densità

= =

2 2

4 3

0 0

volumetrica su una sfera

Potenziale generato da una carica distribuita

2

= = − uniformemente con densità volumetrica su una

(3 )

2

4 8

0 0 sfera

Cilindro uniformemente carico o filo rettilineo indefinito uniformemente carico

Campo elettrostatico generato da un cilindro o da

=

un filo indefinito con densità lineare di carica

2

0 Potenziale generato da un cilindro o da un filo

() − () = − ln

indefinito con densità lineare di carica

2

0

Piano indefinito uniformemente carico Campo elettrostatico generato da una carica

=± distribuita uniformemente con densità

2

0

superficiale su un piano indefinito

Potenziale generato da una carica distribuita

∆ = − ℎ

uniformemente con densità superficiale su un

2

0 ℎ

piano indefinito fra due punti distanti

Capitolo 4 – Conduttori, dielettrici, energia elettrostatica

Conduttori in equilibrio Condizione di equilibrio di un conduttore

=0 Potenziale elettrostatico costante su tutto il

= conduttore

Teorema di Coulomb – campo elettrostatico

= > 0,

esterno al conduttore (uscente se entrante

0 < 0)

se

Tali relazioni valgono anche se il conduttore è cavo.

Condensatori

Un condensatore è caratterizzato dalla sua capacità, la quale vale in generale

= ∆

la quale è riscrivibile anche come Σ

0

= ℎ

Σ ℎ

con superficie delle armature del condensatore e distanza fra le armature stesse.

La capacità è poi esprimibile in altri modi a