Verifica di complanarità di tre punti, equazione del piano e raggio della sfera tangente al piano

Complementi di matematica

Geometria analitica nello spazio

Esercizi Svolti

• Tre punti complanari
• Equazione del piano per un punto e una retta data
• Raggio della sfera tangente ad un piano

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Geometria analitica nello spazio

Esercizi Svolti

• Tre punti complanari
• Equazione del piano per un punto e una retta data
• Raggio della sfera tangente ad un piano

N° 1

Verifica che i punti P(0; 0; 3), Q(−2; 0; 0), R(1; −3; ³/₄), S(1; −2; 2) sono complanari.

Determiniamo l’equazione del piano PQS, imponendo il passaggio per i punti P, Q e S di un generico piano di equazione ax + by + cz + d = 0, con a, b, c non tutti nulli:

³c + d = 0 −2a + d = 0 a − 2b + 2c + d = 0

a = ¹/₂d ³ − 4 + 6/₆d 2b = 5/₁₂d c = −¹/₃d

Il piano PQS ha equazione ¹/₂dx + ⁵/₁₂dy −¹/₃dz + d = 0. Dividiamo per d, che è diverso da 0 perché a, b, c non possano essere tutti nulli: ¹/₂x + ⁵/₁₂y −¹/₃z + 1 = 0 → 6x + 5y − 4z + 12 = 0.

Verifichiamo che il punto R appartiene a tale piano: 6 ⋅ 1 + 5 ⋅ (−3) − 4(³/₄) + 12 = 6 − 15 − 3 + 12 = 0. Quindi i punti dati sono complanari.

N° 2

Scrivi l'equazione del piano passante per il punto A(1; 0; 1) e contenente la retta di equazioni

x - 2y + 3z + 3 = 0x + 2y = 0

La retta individuata del sistema giace sugli infiniti piani del fascio generato dai due piani corrispondenti alle due equazioni del sistema. Il fascio ha equazione:

k(x - 2y + 3z + 3) + h(x + 2y) = 0, con h, k ∈ ℝ non entrambi nulli.

Raccogliamo i monomi simili:

x(h + k) + 2y(h - k) + 3kz + 3k = 0

Imponiamo il passaggio per il punto A:

k + h + 3k + 3k = 0 → h = -7k.

Possiamo supporre k ≠ 0 perché per k = 0 si ottiene il piano di equazione x + 2y = 0, che non contiene A.

Il piano ha equazione:

-6kx - 16ky + 3kz + 3k = 0 → 6x + 16y - 3z - 3 = 0.