Tre corpi e una carrucola

Due corpi di massa m =2 Kg ed m = 3 Kg, connessi tra loro mediante

1 2

una cordicella leggera, sono trascinati, su di un piano orizzontale liscio, da

un terzo corpo di massa m = 1 Kg (ad essi collegato tramite un’altra

0

cordicella che scorre nella gola di una carrucola di massa trascurabile) che

cade per effetto della gravita (figura).

Calcolare l’accelerazione del sistema e le tensioni sulle cordicelle esprimendole

in chilogrammi peso (KgP). Si trascurino gli attriti.

Conviene analizzare separatamente le

forze che agiscono sulle tre masse. Su

m agiscono: la tensione , la forza

T

1 1

peso m g e la forza normale N

1 1

dovuta alla reazione del piano

orizzontale

Poiché il corpo non può accelerare lungo la direzione della verticale (il

corpo ed il piano sono rigidi) deve essere verificata la condizione:

Sul piano orizzontale agisce invece la forza:

Analizziamo ora la situazione che interessa il corpo di massa m 2

Anche per esso e ovviamente nulla la

somma delle forze verticali. Cioè:

Sul piano orizzontale agisce invece la forza (perche il sistema non e in

F

2

equilibrio e si sposta verso destra ). Tale forza e espressa dalla somma

delle due tensioni:

Si osservi che la tensione deve essere la stessa che

T 1

compare nell’equazione (1) perché riferita alla

medesima cordicella. Infine analizziamo il caso del

corpo di massa m ove le forze agiscono soltanto

0

lungo la verticale

Possiamo scrivere:

Si osservi che la tensione T e la stessa contenuta nell’equazione (2) dato

0

che essa viene trasmessa ad m attraverso la carrucola di massa

0

trascurabile. Tenendo opportunamente conto (mediante l’uso del segno

meno )dei versi delle forze (vedere le figure ), dopo aver osservato che il

sistema si muove verso destra (per le masse m ed m ) e dall’alto in basso

1 2

(per la massa m ), possiamo concludere che il problema si risolve per

0

mezzo del seguente sistema scalare:

Applichiamo ora al primo membro delle (4) il secondo principio della

dinamica (F= ma) osservando che tutti e tre i corpi, essendo tra loro

connessi dalle cordicelle,debbono muoversi con la medesima accelerazione a.

In tal modo otteniamo il sistema risolvente:

Sommando membro a membro le (5) e dividendo per la somma delle masse

si deduce l’accelerazione del sistema:

Sostituendo il risultato della (6) nella prima delle (5) ricaviamo:

ed infine, utilizzando l’ultima delle (5):