Tesina Sistemi Dinamici - Modellazione di un serbatoio elettrico

Il modello fisico che si andrà ad analizzare è divisibile in due sottosistemi: un serbatoio

ed un circuito elettrico che gestisce il flusso entrante, , del serbatoio.

Il sistema serbatoio è descrivibile tramite le equazioni del moto dei fluidi:

−

ℎ̇ = ,

1

ω = √ℎ

ℎ

con altezza del fluido, flusso in uscita, sezione del serbatoio, densità del

fluido, resistenza idrica e accelerazione gravitazionale.

Nel sistema circuitale, si scrivono le equazioni per le maglie e le correnti date dalle

leggi di Kirchhoff:

̇

= + = + , = =

2

= +

Inoltre la caratteristica che lega il circuito al serbatoio è: .

0

= = ℎ

Ponendo come variabili di stato e , si può scrivere la

1 2 =

rappresentazione di stato del seguente sistema, imponendo come entrata e

= ℎ:

uscita

̇ = − +

̇ = − √ +

=

{

I dati sono: 3

∙

= 0,5 , = 0,02 , = 10 , = 1000 ,

0

2 3 3

∙

2

= 2 , = 1 Ω, = 0,01 , = 9,81 .

2

2

2.1. Calcolo dei punti di equilibrio ̅ = 5 ,

Per il calcolo dei punti di equilibrio si pone un ingresso costante in modo

tale da rendere i movimenti dello stato e dell’uscita anche essi costanti nel tempo. In

questo caso le derivate si annullano e si ottiene così il sistema:

̅ ̅

1

− + =0

1 0

2

̅ − √̅ + =0

2

1

̅ = ̅

{ 2

da cui si ricavano gli stati di equilibrio cercati:

̅ = ̅

1 ̅

=

12 2

[(̅ + ) ] , →

{ {

0 ̅

= ,

̅ =

2

2.2. Linearizzazione attorno ai punti di equilibrio

Il procedimento della linearizzazione consiste nel descrivere il comportamento di un

sistema non lineare attorno al suo punto di equilibrio nominale, approssimandolo

quindi ad un sistema lineare. Sviluppando in serie di Taylor e troncando lo sviluppo al

secondo termine (con condizioni iniziali nulle) si ricava il sistema linearizzato:

̇ = − +

̅

̇ = −

̅

√

=

{

Portando nella forma matriciale: (t)

̇ = Ax(t) + Bu(t)

{ = Cx(t) + Du(t)

si ottengono le matrici:

−

( ),

= , = , = =

( )

̅

−

̅

√

( ) 3

definite rispettivamente: matrice della dinamica, degli ingressi, delle uscite e matrice

di trasmissione.

2.3. Stabilità del sistema linearizzato

Si verifica, ora, la stabilità dei punti di equilibrio per il sistema linearizzato.

Si può procedere calcolando gli autovalori del determinante di una matrice detta

Jacobiana. In particolare essa si calcola come segue:

≜ ( − )

quindi: 1 0

+

= 2̅

1

− +

2 √̅

2

( )

calcolando poi il suo determinante si trova un'equazione che rappresenta il polinomio

caratteristico associato ad A, le cui radici sono proprio gli autovalori utilizzati per

valutare il tipo (stabile o instabile) del punto di equilibrio scelto.

1

+ ∙ +

( ) ( )=

( − ) = 2 √̅

2

1 1

2

= + + ) + ∙

(

2 √̅ 2 √̅

2 2

Sostituendo i valori numerici e ponendo uguale a zero il polinomio:

2 −4

+ 0,102 ∙ + 1,96 ∙ 10 = 0

si possono valutare le soluzioni. In questo caso, i coefficienti sono positivi (polinomio

Hurwitz) il quale implica che gli autovalori sono a parte reale negativa. Quindi il

sistema in esame è asintoticamente stabile.

4

3. Calcolo della funzione di trasferimento

Prendendo in considerazione il sistema linearizzato e applicando la trasformata di

Laplace si può ricavare la funzione di trasferimento (f.d.t.).

Considerando le condizioni iniziali nulle si ha:

() = () ∙ ()

dove −1

() = ( − ) +

è la funzione di trasferimento cercata.

Sostituendo le matrici trovate in precedenze si ottiene: −1

1 0

− 1

1 0

(0 1)

() = ∙ − ∙ =

( ) ( )

2̅

0 1 1 − 0

2 √̅

[ ]

2

( )

−1

1 0

+ 1

(0 1)

= ∙ ∙ ( )

2̅

1

− + 0

2 √̅

2

( )

Da cui: −

, ∙

() = −

( + , ∙ )( + , )

5

4. Analisi in frequenza della funzione di trasferimento

()

Per rappresentare la risposta in frequenza del sistema, si usano i diagrammi di

Bode (o diagrammi cartesiani). Si parla di risposta in frequenza quando la funzione di

trasferimento di un sistema lineare tempo invariante viene sollecitata da un ingresso di

tipo sinusoidale con pulsazione al variare di questa. I diagrammi di Bode sono

()

costituiti da una coppia di curve che rappresentano il modulo e la fase di in

,

funzione della pulsazione ascissa comune ad entrambi i diagrammi. Le due curve

sono dette diagramma di Bode del modulo e diagramma di Bode della fase.

s = :

Portando la funzione di trasferimento nella forma di Bode e sostituendo

() = , ∙

+ ) + )

( (

− −

, ∙

ricaviamo i grafici: 6

5. Analisi alla risposta indiciale

Per modellare un'improvvisa commutazione del valore dell'ingresso ed analizzare

il comportamento del sistema a tale variazione, si studia il movimento dell'uscita

in risposta al gradino. Il gradino che prenderemo in considerazione si suppone

di ampiezza unitaria, in quanto per la proprietà della linearità, la risposta al

̅

gradino di ampiezza è semplicemente data da quella del gradino unitario

̅.

moltiplicata per () = ()()

con 1

() =

Il valore di regime, , vale in questo caso 1,28, che coincide con il guadagno statico

∞

della funzione di trasferimento. all’uscita

Il tempo di assestamento del sistema, , definito come il tempo che serve

[ – 1% ; + 1% ],

per portarsi, senza più uscirne, in un range di calcolato

∞ ∞ ∞ ∞

, = 4.6;

come rappresenta la costante di tempo del polo dominante, ovvero quello

del polo più a destra dell’asse Re(0). Sapendo che

1 1

= = = 510

−3

1,96 ∙ 10

allora: = 2346,94

7

6. Analisi risposta armonica

Se si pone come ingresso una sollecitazione di tipo sinusoidale al sistema lineare

asintoticamente stabile con funzione di trasferimento G(s):

() = sin ( )

0

l’uscita anch’essa

a transitorio esaurito assumerà un andamento di tipo sinusoide con

ampiezza e fase diversa: |( )| )))

() = ∙ ∙ sin

( + arg ((

0 0 0

()

dove il modulo e fase di vengono valutati in tramite i diagrammi di Bode.

0

= 10

Quindi per 0 (zoom dei diagrammi di bode)

si può ricavare l’uscita del sistema, scegliendo come ampiezza dell’ingresso: U=1.

() = −112sin

( − 3.13)

0

8

7. Confronto tra modello non lineare e modello lineare

Di seguito vengono riportati i grafici per il sistema lineare (in blu) e non lineare (in

rosso). La simulazione degli andamenti sono stati implementati tramite il software

Simulink, secondo il seguente schema:

dove il sottosistema NonLineare ha la seguente forma:

Di seguito i grafici: 9

8. Progettazione PID

Si progetta ora un controllore PID dato dalla seguente funzione di trasferimento:

2

+ +

con cui si vuole calcolare un tempo di assestamento inferiore a quello del sistema

linearizzato. Lo schema a blocchi è:

La P(s) è la funzione di trasferimento del sistema linearizzato:

−3

0,25 ∙ 10

() = −3

(s + 1,96 ∙ 10 )(s + 0,1)

Ne risulta che la funzione di trasferimento ad anello aperto è:

−3 2

0,25 ∙ 10 ( + + ) ()

() = [ ]

−3

s(s + 1,96 ∙ 10 )(s + 0,1) ()

e quello ad anello chiuso, applicando una retroazione negativa:

() ()

() = =

1 + () () + ()

Si verifica ora la stabilità del sistema in retroazione, definendo i valori ammissibili per

i parametri e . Si prenda in esame solo il denominatore della G(s):

−3 2 −3

(s) ( ) )(s

Den = 0,25 ∙ 10 + + + (s + 1,96 ∙ 10 + 0,1) =

3 −3 2 −3 −4

(0,25

= + ∙ 10 + 0,1) + (0,25 ∙ 10 + 1,96 ∙ 10 ) +

−3

+0,25 ∙ 10

Per l’asintotica stabilità, i coefficienti del polinomio devono ess