Teoria ed esercizi sull'indice di Gini, Scienza delle finanze

Coefficiente di Gini

Il coefficiente di Gini misura la diseguaglianza di una distribuzione. Esso è usato come indice di concentrazione per misurare la diseguaglianza nella distribuzione della ricchezza. È compreso nell'intervallo [0;1].

Se = 0 → Massima, pura equidistribuzione (tutti hanno lo stesso reddito)

Se = 1 → Massima concentrazione (solo uno possiede tutto)

Indice di concentrazione

Viene usato per misurare in che modo un bene condivisibile viene diviso tra la popolazione:

• Concentrazione ≠ omogeneità
• Variabilità ≠ precisione

Si ordinano gli individui (i) in maniera non decrescente in base al loro reddito (x_i).

Significa che l'80% degli individui più possiedono assieme solo il 35% della ricchezza. Sono i più poveri perché i redditi sono sommati in maniera non decrescente; per contro il restante 20% degli individui possiede assieme il 65% della ricchezza, c'è quindi una forte sperequazione della ricchezza.

Curva di Lorenz

È la curva che rappresenta i dati della tabella.

Asse ascisse = P

Frequenze cumulate relative

Asse ordinate = Q

Quantità cumulate relative

Retta di equidistribuzione: la ricchezza è distribuita in parti uguali tra gli individui, infatti è di 45° (il coefficiente di G). Potrà anche nega la concentrazione di questa retta, il calcolato rapporto di questa verranno come indice di disuguaglianza

Più è grande l'area è più alta la concentrazione

La curva di Lorenz rappresenta una misura relativa della diseguaglianza (relativa perché uso la quota (%) e non i valori assoluti)

INDIVIDUI (i) RICCHEZZA (x_i) RICCHEZZA CUMULATA ∑_ix_i x_i/∑c e a p_i % CUMULATA DI x_i/∑c e a INDIVIDUI i/n (q_i) (p_i)

• 1 10 10 0,05 = 10/200 0,2 = 1/5
• 2 15 25 = 10 + 15 0,125 = 25/200 0,4 = 2/5
• 3 20 45 = 10 + 15 + 20 0,225 0,6
• 4 25 70 0,350 0,8
• 5 130 200 1 1

6_x,y = COV[X;Y] = (1/n_x.y)∑ⁿ_i=1∑ⁿ_j=1(x_i - μ_x).(y_j - μ_y).n_i.j

6_x,y = CODV [X;Y] = E[X . Y] - E[X] . E[Y]

Trovare la media di delle due variabili, reddito lordo e funzione di ripartizione degli individui

μ_X⁼E[x] = (10 + 15 + 20 + 25 + 130)/5 = 200/5 = 40

μ_{p⁼E[pi] = (0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 + 1)/5 = 3/5 = 0,6}

Trovare la covarianza

COV[x;p_i] = (10.0,2) + (15.0,4) + (20.0,6) + (25.0,8) + (130.1)/5 (40.0,6)

COV(x;p_i) = 6_X.Pi = 170/5 24 = 34 - 24 = 10

Curva di Lorenz dei redditi lordi

• 1/6
• 2/6
• 3/6
• 4/6
• 5/6
• 6/6

• 10'000
• 25'000
• 53'000
• 89'000
• 137'000
• 222'000

• ^10'000/_222'000 = 0,04504
• ^25'000/_222'000 = 0,11261
• ^53'000/_222'000 = 0,23874
• ^89'000/_222'000 = 0,4009
• ^137'000/_222'000 = 0,617171
• ^222'000/_222'000 = 1

0,061

0,14

0,23

0,11

0,045

La curva dei redditi lordi è uguale alla media ponderata delle curve dei debiti d'imposta e dei redditi netti.

L_X = θ L_T + (1 - θ) L_Z

Φ = (Σ^m_i=1 T_i) / (Σⁿ_i=1 x_i) = T₁ + T₂ + ... + T₆ / x₁ + x₂ + ... + x₆ = 52'800 / 222'000 = 0,2378378

es.

L_T(2/6) = 0,7102 ∧ L_Z(2/6) = 0,12559

L_X = 0,2378378 × 0,7102 + (1 - 0,2378378) × 0,12559

L_X = (3'750/52'800) × (52'800/222'000) + (1 - 52'800/222'000) × (21'250/169'200)

L_X = 3'750 / 222'000 + (1 - 52'800 / 222'000) × (21'250 / 169'200)

L_X ≈ 0,1126

Curva di Lorenz Netti (L_x-T)

• Riordino
• 7
• 9
• 10
• 11
• 35

• L_x-T
• 7/72
• 16/72
• 26/72
• 37/72
• 72/72

Curva di Concentrazione Netti

• 7/72
• 18/72
• 28/72
• 37/72
• 72/72

Calcolo dell'indice di concentrazione dei redditi netti e dell'indice di Gini dei redditi netti.

N_x-T = ^{7 + 11 + 10 + 9 + 35}⁄_S = 14,4

N_F(x) = ^{0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 + 1}⁄₅ = ³⁄₅ = 0,6

1 - 0,2 = 0,8 ≈ 0,95 < 1

1 - 0,16 = 0,84

Infatti

z₁ = 21.000 se ↑ 1%, → 21.000 * (1 + 0,01) = 21.210

Ma z₂ cioè z dopo l’aumento di y 1% è più basso rispetto a z₁ + 1% di z₁

z₂ < z₁ + 1% di z₁

21.200 < 21.210

In pratica ci dice che il reddito lordo è aumentato dell’1% ma il reddito netto che mi resta non è aumentato dell’1%, ma è aumentato meno dell’1%.

    21.210 - 21.000      _21.000 = 0,01

    21.200 - 21.000      _21.000 = 0,00952

                            Aumento reale del reddito netto

0,01 > 0,00952

1% > 0,952%