Teoria dei segnali - Esercizi

T

Tale segnale viene filtrato con un filtro LTI di risposta armonica

1 − j4πf T

H(f ) = 1 + j2πf T

y (t).

e

ottenendo il segnale Si determini la componente continua e il rapporto tra l’ampiezza della terza

x

(t) y (t).

e e

armonica e l’ampiezza dell’armonica fondamentale dei segnali e

EX. 6 Sia dato il segnale X

∞

x

(t) = x(t − 2k T )

e k=−∞

con

t − 1 rect(t/(2T ))

x(t) = 2Λ T

y (t) x

(t)

e e

e sia la risposta al segnale di un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e banda

B. x

(t) B y (t)

e e

monolatera Valutare la trasformata di Fourier di e determinare la banda in modo che

f = 1/(2T ).

sia un segnale sinusoidale di frequenza 0

EX. 7 Si consideri il segnale x(t) = V + cos(2πf t)

0

v

somma di una tensione continua e di un segnale interferente sinusoidale. Si vuole rimuovere l’in-

x(t) h(τ ) = a δ(τ ) +

terferenza filtrando il segnale mediante un filtro SLS con risposta impulaiva 1

a δ(τ − T ). f T = 1/2, a a y(t) = V

Nell’ipotesi in cui determinare i valori di ed affinchè , ovvero

2 0 1 2

si abbia la perfetta soppressione dell’interferenza in uscita.

EX. 8 Sia X

∞

x

(t) = x(t − k T )

e k=−∞

un segnale periodico, con

2t − 1 rect(t/T ).

x(t) = 2Λ T

x

(t)

e

Si filtra il segnale con un filtro passabasso avente risposta armonica

f f

−j2π

H(f ) = rect e 4f 0

4f 0

f = 1/T y (t)

e

con . Determinare il segnale in uscita al filtro.

0 y(t) = x(t) cos(2πf t), x(t)

EX. 9 Si consideri il segnale modulato dove è un segnale a banda (monolatera)

1

W = 1kHz f = 4W y(t)

limitata e . Per traslare a frequenze più elevate, esso viene moltiplicato per

1

cos(2πf t), f = 5W z(t) = y(t) cos(2πf t)

con , ed il segnale risultante viene filtrato con il filtro

2 2 2

f

H(f ) H(f ) = 1 − rect( ) B

passalto ideale, avente cioè risposta armonica dove è la frequenza di

2B

taglio. y(t) z(t);

– Rappresentare graficamente gli spettri dei segnali e

– determinare i valori di B in corrispondenza dei quali il segnale in uscita al filtro passaalto è

w(t) = ax(t) cos [2π (f + f ) t], a

dove è un fattore di scala inessenziale.

1 2

EX. 10 Il segnale X

∞ x(t − 2k T )

x

(t) =

e k=−∞

con

t

x(t) = 2Λ − 1 rect(t/2T )

T

è filtrato con un filtro RC allo scopo di ottenere un segnale approssimativamente sinusoidale con

f = 1/(2T ). f

frequenza Determinare la frequenza a - 3 dB del filtro RC in modo che l’ampiezza

0 3 f

della prima componente sinusoidale a frequenza superiore ad del segnale filtrato sia pari ad 1/25

0

della fondamentale.

EX. 11 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi sotto riportati sulla base delle

loro proprietà (dispersività, invarianza temporale, linearità, causalità, stabilità).

y(t) = 2 exp [x(t)]

– y(t) = x(t − 2) − x(1 − t)

– y(t) = x(t) cos(2πt)

– y(t) = [x(t) + x(t − T )] u(t)

– y(t) = [x(t) − x(t − T )] u [x(t)]

–

EX. 12 Si consideri la cascate dei due sistemi definiti dai seguenti legami ingresso-uscita:

y (t) = x (t) cos(2πf t + θ);

– S1: 1 1 0

Y (f ) = X (f )rect(f /2B).

– S2: 2 2 x(t) = s(t) cos(2πf t), s(t)

Il segnale in ingresso alla cascata sia con segnale di energia passabasso

0

B. f B, y(t)

con banda monolatera Supponendo determinare l’energia del segnale all’uscita della

0

S1 − S2.

cascata

EX. 13 Classificare in base alle loro proprietà i sistemi a tempo continuo individuati dalle seguenti relazioni

ingresso/uscita

R +∞

y(t) = h(τ )x(t − τ )dτ

– 0

R T 2

y(t) = h(τ )x (t − τ )dτ

– 0

y(t) = dx(t)/dt

– R T

1 x(t − τ )dτ

y(t) =

– 2T −T

EX. 14 Si consideri la cascata di tre sistemi:

S1 : y(t) = x(2t)

– S2 : h(t) = δ(t) − δ(t − 1)

– S3 : y(t) = x(t/2)

–

Determinare il legame ingresso/uscita del sistema costituito dalla cascata S1-S2-S3 e stabilire se è

lineare, tempo variante, stabile, dispersivo e causale.

2

z(t) = (x(t) + cos(2πf t)) x(t) X(f ) =

EX. 15 Sia con segnale passabasso con trasformata di Fourier

0

rect(f /2B) y(t) = z(t) ⊗ h(t) h(t)

e sia dove è un filtro passabanda avente risposta armonica

H(f ) = rect [(f − f )/2B] + rect [(f + f )/2B] ⊗

e denota la convoluzione.

0 0

z(t)

– Determinare lo spettro di e rappresentarlo graficamente (si assuma per la rappresentazione

f B);

0 f B y(t) x(t) cos(2πf t),

– determinare sotto quali condizioni per e l’uscita risulta proporzionale a

0 0

ovvero il sistema complessivo si comporta da modulatore di ampiezza.

2

x

(t) T g(x) =| x |

e

EX. 16 Siano un segnale periodico di periodo , una nonlinearità senza memoria e

H(f ) W = 1.5/T

un filtro ideale passabasso avente banda monolatera e guadagno unitario. De-

z(t) = h(t) ⊗ y (t) y (t) = g(e

x (t)) ⊗

e e

terminare l’espressione del segnale dove e il simbolo denota la

convoluzione.

EX. 17 Il segnale X

∞ k

x

(t) = (−1) x(t − 2k T )

e k=−∞

con

t

x(t) = Λ T 1/T

è posto in ingresso ad un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e banda monolatera .

Determinare il segnale in uscita e valutarne la funzione di autocorrelazione.

y(t) x(t)

EX. 18 Si consideri il sistema SLS la cui uscita è legata all’ingresso dalla relazione

y(t) = x(t) + y(t − T ).

– Calcolare la risposta in frequenza del sistema;

x(t) W 1/T

– mostrare che se il segnale di ingresso è passabasso con banda monolatera , il

X(0)/2,

sistema si comporta, a meno di un termine costante come la cascata di un integratore

1/T

ideale e di un amplificatore ideale di guadagno .