Teorema di Ampère e studio di funzione

La scoperta di Oersted

La scoperta di Oersted è di grande importanza perché mette in luce il collegamento tra elettricità e magnetismo. Quando le cariche elettriche sono ferme, danno origine a un campo elettrico a livello macroscopico. Se invece le cariche elettriche sono in movimento, danno origine anche a un campo magnetico.

Faraday scopri che un filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico subisce una forza il cui verso è dato dalla regola della mano destra:

• Il pollice della mano punta nel verso della corrente
• Le altre dita nel verso delle linee del campo magnetico
• Il verso della forza è quello che esce dal palmo della mano

Le esperienze di Oersted e quelle di Faraday mostrarono l'esistenza della relazione tra corrente elettrica e campo magnetico:

• Una corrente elettrica genera un campo magnetico
• Una corrente elettrica subisce una forza magnetica

Ampère verificò sperimentalmente l'esistenza della forza magnetica tra...

Due fili percorsi da corrente, inquanto ciascuno di essi genera un campo magnetico e subisce la forza del campo generato dall'altro. I fili si attraggono quando sono percorsi da correnti elettriche che fluiscono con verso concorde. I fili si respingono quando sono percorsi da correnti elettriche che fluiscono con verso opposto. Per interpretare questi risultati occorre considerare che la corrente elettrica crea un campo magnetico e quindi i due fili si comportano come due magneti: se sono abbastanza vicini si può osservare il risultato dell'interazione magnetica che può essere attrattiva o repulsiva.

La formula che esprime la legge di Ampere per l'intensità della forza magnetica è: 0 ⋅ 12*

Il Teorema di Ampère 23⃗ 3⃗

Le Equazioni di Maxwell sono un insieme di quattro equazioni che descrivono in modo completo la Teoria dell'Elettromagnetismo, ovvero ci dicono come il campo elettrico ed il campo magnetico sono Φ Γ

⁷legati alle loro sorgenti e come interagiscono tra di loro e con la materia circostante.
^3⃗7Rivediamo le definizioni di flusso di circuitazione per un generico campo vettoriale.
^3⃗7Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa S è una grandezza scalare data su S:dall’integrale di superficie di <⃗3⃗ 3⃗Φ ; 7 ⋅97 :8 8Il flusso indica “come questo campo varia nell’intorno di un punto” e quindi è collegato alle sorgenti ed alle linee di forza di questo campo. Il flusso di un campo rappresenta la quantità di linee che intercetta una^23⃗superficie attraversandola.S attraverso una superficieIl Teorema di Gauss per il campo elettrico, afferma che il flusso del vettoreΣ@chiusa è proporzionale alla somma di tutte le cariche presenti al suo interno:<⃗923⃗ 23⃗Φ ; ⋅: A8 >Questa equazione consente di determinare il campo elettrico generato da una qualsiasi distribuzione dicarica elettrica contenuta all'interno della superficie delimitata dalla linea chiusa.derivata del flusso, ➗ rispetto al tempo del campo magnetico (B) attraverso la superficie delimitata dalla curva scelta. Per il campo magnetico sussiste il Teorema di Ampère: ➗ B ⋅ ΣC ➗ per il quale la circuitazione di lungo il percorso chiuso è pari al prodotto della permeabilità magnetica del vuoto per la somma delle correnti concatenate al percorso scelto. Svolgimento Punto 1) Riportiamo in un piano cartesiano Oxy, quanto indicato nella traccia. dI due fili a distanza dall'origine degli assi sono rappresentati, secondo la convezione adottata (cerchio con croce=entrante; cerchio con punto=uscente) F( EB Il modulo del campo magnetico generato da un filo percorso da corrente , in un punto ad una distanza( dal centro dal filo, si può ricavare utilizzando la legge di Biot- Savart: ( ⋅2π (( E√ La direzione di B, è tangente alla circonferenza con centro nel filo e(, raggio mentre il verso si ottiene con la regola della

Il problema presenta una simmetria, essendo i fili equidistanti dai punti sull'asse delle ascisse, pertanto i campi magnetici generati dai fili hanno lo stesso modulo dato dalla legge di Biot-Savart.

Per determinare il campo generato dai due fili, in un punto generico dell'asse delle ascisse, bisogna sommare vettorialmente i campi magnetici.

Scomponendo lungo le direzioni degli assi coordinati, osserviamo che le componenti x sono opposte e dunque si annullano, pertanto il vettore B risultante è somma delle due componenti y, come riportato nelle figure seguenti:

Componenti di B_x: cos(θ_G) * sin(θ_L)

Componenti di B_y: cos(θ_G) * sin(θ) * sin(θ_L)

Le componenti x e z dei campi magnetici si annullano quindi il campo magnetico totale è diretto lungo l'asse delle ordinate.

Il modulo del campo magnetico risultante vale:

|B| = 2 * π * (PQ / PL) * √(E² * sin(θ)²)

Osserviamo che dalla relazione: |B| = sin(θ) * E * √(E² * sin(θ)²) si ha:

|B| = sin(θ) * E * √(1 - sin(θ)²)

In tal modo l'espressione dalla

funzione di B, diventa:) | | .* EPQPS 0 T 0Per il campo magnetico ha verso opposto all'asse delle , mentre per ha lo stesso versodell'asse delle ordinate.

Punto 2) Studio di Funzione d iConsideriamo dunque la funzione seguente, in cui inserire i dati fornidi per e per)* E)* 1EU W 4 ⋅ 10 Y:,-VXIl fattore vale , possiamo inglobare tutte le costanti in un unico parametroY 1EDominioLa funzione è definita in tutto R e in esso è continua e derivabile.SimmetrieControlliamo se la funzione è pari o dispari, verificando le seguenti uguaglianze:[[\(]GY `^G _GY S 0,^G _ f(x) è dispari, otteniamo il suo grafico da quello tracciato percompletandolo per simmetria rispetto all'origine.Segno 1 E ∀ ∈ b.Il segno dipende dal numeratore, perché è sempre positivoTenendo presente il segno meno davanti alla frazione abbiamo:c0 ↔ T00 ↔ 0T0 ↔ c0 Riportiamo nel piano cartesiano il segno di f(x)Limiti agli estremi

del Dominio ed eventuali Asintoti Il grafico della funzione non presenta asintoti verticali essendo continua e derivabile in tutto R. Verifichiamo se ammette asintoto orizzontale: Glim(x->+∞) Y(x) = j(x) Y(x) = k(x) Y(x) = 0 Glim(x->-∞) Y(x) = j(x) Y(x) = k(x) Y(x) = 0 0 è asintoto orizzontale destro e sinistro. Derivata prima - Massimi e minimi Calcoliamo la derivata prima della funzione e studiamone segno e zeri. Applichiamo la regola del quoziente di due funzioni: n(x) * n'(x) - p(x) * r'(x) Operiamo: Y'(x) = 1/(E^2 + 1) * (1 - E^2) * (1 - Y^2) Poniamo Y' = 0 1 - E^2 = 0 E = ±1 Sostituendo E = ±1 nella derivata prima otteniamo: Y'(x) = 1/(2) * (1 - 1) * (1 - Y^2) Y'(x) = 0 Y = ±1 Riportiamo nel quadro dei segni: s s1; ∀ x ∈ (-∞, 1) r ∪ E∞; r -> c0 -> p è crescente ∀ x ∈ (1, ∞); r -> T0 -> p è decrescente La funzione ha: - un massimo assoluto in x = 1 - un minimo assoluto in x = -1 Per cui i due punti sono (1, max) e (-1, min).

stazionari sono: Y Y} ~ 1; • ] ~1; •2 2Derivata seconda – Concavità – Punti di Flesso1Yp 1ECalcoliamo la derivata seconda, in modo analogo a quanto fatto per la derivata prima:1 ⋅2 1E2 ⋅ 1E ⋅2Ypp 1E €2 ⋅ 1E 1 ⋅4Ypp 1E •2 E2 4 E4 6 2• • •Y Ypp 1E 1E• •32Ypp 1E •Studiamo il segno e gli zeri3 S01E •S0 S03 S 0 → ƒƒ v v√3 √3c01E ∀ ∈b•Riportiamo nel quadro dei segni 0… ∪ E∞… ∞; ∪„ „√3; „ „0;√3; √3… √3….La funzione risulta concava in ed è convessa in ∨ 0∨√3 √3.Il grafico della funzione presenta dunque tre punti di flesso inValutiamone le ordinate:√3 √3√3: Y → Y9 9√3:4 40 0Grafico †Punto 3)Circuitazione del campo magnetico lungo il camminoγ √5 4individuato dalla funzioneRappresentiamo

Il cammino è una semicirconferenza di raggio r=3 e centro C(-2;0). Essa giace nel III e IV quadrante, T 0, essendo e i valori delle ascisse sono compresi tra -5, ed 1 come indicato nella traccia. Riportiamo sul piano cartesiano.

Le correnti sono stazionarie, pcostanti nel tempo, aplichaimo quindi il teorema di Amre, in virtù del quale: γla circuitazione del campo magnetico lungo il cammino orientato è uguale alle correnti concatenate al cammino moltiplicate per la permeabilità magnetica del vuoto. In questo caso l'unica corrente concatenata al cammino è , quindi: 333⃗ 333⃗3⃗: 3⃗ 3⃗Γ