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Soluzione esercizio 1
a) La risposta in frequenza è µ ¶
f
H(f ) = 0.75 + 0.25 exp −jπ .
3
10
Il modulo oscilla con periodo 2kHz, con massimi per f = 0, 2, 4, ...kHz e minimi per f = 1, 3, 5, ... kHz:
H(0) = 0.75 + 0.25 exp (0) = 1
3 ) = 0.75 + 0.25 exp (−jπ) = 0.5
H(10
b) 3 πt)
x(t) = 4 + 2 cos(2 · 10 3 3 3
) cos(2 · 10 πt + H(10 ))
y(t) = 4H(0) + 2H(10 6
3
= 4 + cos(2 · 10 πt)
1
2 = 16.5W
= 4 +
P
y 2 3
c) Il segnale risulta distorto in quanto la componente a 1kHz viene attenuata di un fattore H(10 ) = 1/2
coincide con i punti di massimo
mentre la componente continua rimane inalterata. Non si ha distorsione se f
0
= 0, 2, 4, ... kHz.
della risposta in frequenza, cioé f
0
Soluzione esercizio 2
a) La trasformata di Fourier di x(t) è un triangolo di banda B = 3kHz e ampiezza 1/2.
µ ¶
f
1 tri .
X(f ) = 2 3000
Affinché il segnale originale possa essere ricostruito esattamente a partire dai suoi campioni con un filtro
passa-basso ideale è necessario che ≥ 2B = 6kHz.
f
c X ( f )
c
a 2000
... ...
-4 -3 -1 1 3 4 f [kHz]
b ˆ
X ( f ) 1/2
1/3
-2 -1 1 2 f [kHz]
Figura 2:
b) Nel caso in cui f = 4000Hz si ha alias e lo spettro del segnale campionato X (f ) è quello rappresentato
c c (f ) =
in figura 3a. Considerando un filtro di ricostruzione ideale con risposta in frequenza H
³ ´ r
f
1 rect , la trasformata di Fourier del segnale ricostruito è quella rappresentata in figura 3b:
4000 4000 µ ¶ µ ¶
f 1 f
1 rect + tri .
X̂(f ) = 3 4000 6 1000
2
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