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Frequenze assolute

16

14

12

10

Fa 8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7

Classi

Frequenze Cumulate

120

100

80

% 60

Fc 40

20

0 1 2 3 4 5 6 7

Classi

CLASSE DA 15 V

TABELLA DELLE FREQUENZE

classe intervallo f f f f

a r c c%

1 ]­∞; ­0,353] 1 0,02 1 2

2 ]­0,353; ­0,156] 3 0,06 4 8

3 ]­0,156; 0,041] 14 0,28 18 36

4 ]0,041; 0,238] 10 0,2 28 56

5 ]0,238; 0,435] 17 0,34 45 90

6 ]0,435; 0,632] 5 0,1 50 100

7 ]0,632; +∞[ 1 0,02 51 101

Frequenze assolute

18

16

14

12

10

Fa 8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7

Classi

Frequenze Cumulate

120

100

80

% 60

Fc 40

20

0 1 2 3 4 5 6 7

Classi

TEST Z

Il test Z consente di valutare se un certo campione è sufficientemente rappresentativo di una data popolazione

per il livello di significatività assunto.

Si suppone nota la deviazione standard della popolazione.

Il test consiste nella determinazione della variabile Z e nel successivo confronto della variabile con il valore

tabellato Z .

0

Il test sarà considerato valido qualora il valore calcolato risulti minore di quello tabellato. Per effettuare il test Z

sono stati estratti dalle popolazioni al completo le prime e le ultime venti misure per un totale di quaranta

campioni per ogni valore rilevato.

Definiamo con:

­Z il valore calcolato

­ l’area corrispondente al valore tabellato

α

­Z il valore tabellato

0 5V 8V 10V 15V

Test Z: superato superato superato superato

Z ­0,085 0,004 ­0,08 ­0,052

|Z| 0,085 0,004 0,08 0,052

0,025 0,025 0,025 0,025

α

Z 1,96 1,96 1,96 1,96

0

Il test è stato superato per ogni misura effettuata. Si evince quindi che i campioni sono rappresentativi delle

rispettive popolazioni. TEST T DI STUDENT

Il test t di Student analogamente al test Z permette di valutare il grado di rappresentatività di un campione.

Tale test, utilizzato quando il campione estratto contiene un numero limitato di elementi, fa uso di una tabella

di confronto dalla quale, una volta fissato il grado di accettabilità ed il grado di libertà, è possibile individuare il

parametro di raffronto t .

α

Il test si ritiene superato qualora il valore calcolato risulti minore di quello tabellato.

Definiamo con:

­t il valore calcolato

­ l’area corrispondente al valore tabellato

α

­t il valore tabellato

α 5V 8V 10V 15V

superato superato superato superato

Test t­

Student: 1­20 21­40 1­20 21­40 1­20 21­40 1­20 21­40

t ­0,14 ­0,073 0,004 0,004 ­0,067 ­0,085 ­0,071 ­0,041

|t| 0,14 0,073 0,004 0,004 0,067 0,085 0,071 0,041

α 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025

Grado di 19 19 19 19 19 19 19 19

libertà

t 2,093 2,093 2,093 2,093 2,093 2,093 2,093 2,093

α

Il test è superato da tutti i campioni, ciò vuol dire che è rappresentativo della popolazione con livello di

significatività del 95%. TEST DELLA MEDIA

Il test della media ci permette di valutare la dispersione del campione attorno al valore centrale, in particolar

modo osserviamo se due campioni fanno parte della stessa popolazione e quindi se la distanza tra le due

medie è casuale o meno. −

y y

2 1

=

t S −

( y y )

2 1

dove rappresentano le medie dei due campioni e

y y

2 1 ( ) ( )

− + −

2 2

n 1 S n 1 S

+

n n 1 y 2 y

= ⋅

2 1 2

S 1 2

( y y ) + −

n n n n 2

2 1 1 2 1 2

con = numero di elementi del primo campione;

= numero di elementi del secondo campione;

= deviazione standard del primo campione;

= deviazione standard del secondo campione;

La t così valutata viene calcolata è confrontata, poi, con la t­Student: se il valore calcolato è minore del valore

ottenuto dalla tabella allora il test è superato e quindi la distanza tra le medie dei campioni e casuale ed essi

fanno parte della stessa popolazione. Poiché il t calcolato è minore del t in tabella il test è superato e quindi

l’errore commesso è casuale. 5V 8V 10V 15V

Test Media: superato superato superato superato

n1 20 20 20 20

n2 20 20 20 20

Grado di 19 19 19 19

libertà

S 0,118 0,225 0,104 0,144

|t| 1,052 0,097 0,201 0,368

t 2,093 2,093 2,093 2,093

α 2

χ

TEST DEL

χ

Il test del ci permette di stabilire il rischio che corriamo nel considerare gaussiana una distribuzione che, in

2

realtà, non è gaussiana. Prima d’effettuare il test viene fissato il grado di libertà = c­1 dove è il numero di

ν N Nc

classi dopo l’accorpamento, effettuato affinché ognuna comprenda almeno 5 frequenze teoriche. Il grado di

libertà serve a trovare il relativo valore sulla tabella della distribuzione del chi­quadrato corrispondente

all’errore fissato del 5%. 2 2

χ χ

Valutiamo il valore in tabella . Infine calcoliamo il valore analitico del :

( ) 2

f f

Nc

χ =

2 oi ti

f

=

i 1 ti

Affinché il test venga superato deve essere verificata la seguente condizione:

χ χ

<

2 2

t

Se la condizione è verificata, allora si ha una probabilità del 5% di sbagliare accettando il campione come

gaussiano.

La frequenza teorica è ottenuta moltiplicando l’area sottesa alla curva nell’intervallo della classe per il numero

dei campioni n.

Definiamo come:

­f la requenza assoluta

o

­f la frequenza teorica

t

­x l’estremo della classe

5V classi classi accorpate f x z area f (f ­f ) /f

2

a t a t t

­1,18 0,157 7,85 1,034

]­∞; ­0,116] ] ­∞; 0,028] 5 5,028 ­0,365 0,203 10,15 0,977

]­0,116; 0,028] ]0,028; 0,172] 7 5,172 0,457 0,47 23,5 0,265

]­0,028; 0,172] ]0,172; 0,316] 21 5,316 1,28 0,419 20,95 2,305

]0,172; 0,316] ]0,316; +∞] 14 5,46 2

χ

]0,316; 0,46] 2,581

]0,46; 0,604]

]0,604; +∞[

8V classi classi accorpate f x z area f (f ­f ) /f

2

a t a t t

0,255 12,75 1,102

]­∞; ­0,182] ] ­∞; ­0,024] 9 7,976 ­0,663 0,252 12,6 0,917

]­0,182; ­0,024] ]­0,024; 0,134] 16 8,134 0,026 0,509 25,45 10,632

]­0,024; 0,134] ]0,134; 0,292] 9 8,292 0,716 0,252 12,6 0,536

]0,134; 0,292] ]0,292; +∞] 10 8,292 0,716 2

χ

]0,292; 0,45] 13,187

]0,45; 0,608]

]0,608; +∞[

10V classi classi accorpate f x z area f (f ­f ) /f

2

a t a t t

0,195 9,75 0,775

]­∞; 0,047] ] ­∞; 0,104] 7 10,104 ­0,816 0,242 12,1 0,695

]0,047; 0,104] ]0,104; 0,161] 15 10,161 ­0,160 0,445 22,25 10,45

]0,104; 0,161] ]0,161; 0,218] 7 10,218 0,494 0,427 21,35 7,143

]0,161; 0,218] ]0,218; 0,275] 9 10,275 1,149 0,445 22,25 10,45

]0,218; 0,275] ]0,275; +∞] 7 10,275 1,149 2

χ

]0,275; 0,332]

]0,332; +∞[ 29,513

15V classi classi accorpate f x z area f (f ­f ) /f

2

a t a t t

­0,185 0,429 21,45 2,587

]­∞; ­0,353] ] ­∞; 0, 041] 14 15,041 0,205 0,15 7,5 0,833

]­0,353; ­0,156] ]0,041; 0,238] 10 15,238 0,637 0,585 29,25 5,13

]­0,156; 0,041] ]0,238; 0,435] 17 15,435 0,637 0,15 7,5 0,833

]0,041; 0,238] ]0,435; +∞] 5 15,435 2

χ

]0,238; 0,435] 9,383

]0,435; 0,632]

]0,632; +∞[ 5V 8V 10V 15V

Test 2: superato non superato non superato non superato

χ

Nc 4 4 5 4

n 50 50 50 50

g.l. 3 3 4 3

2 2,581 13,187 29,513 9,383

χ

2tab 7,81 7,81 9,49 7,81

χ

Risulta avere una distribuzione gaussiana solo il primo valore. Le rimanenti distribuzioni non sono uniformi e

non presentano la forma a campana tipica della distribuzione gaussiana.

ANALISI DI REGRESSIONE

L’analisi di regressione permette di calcolare l’andamento medio dell’errore e di riportarlo su di un grafico. Il

metodo utilizzato è il metodo dei minimi quadrati con valutazione dell’ errore standard della stima. L’analisi

viene effettuata sui primi 5 campioni di ogni misurazione.

VALORI DELLE PRIME 5 MISURE

Tensione [V] Tensione rilevata [V] Errore [V]

5,22 0,22

5 5,55 0,55

5 4,99 -0,01

5 5,26 0,26

5 5,75 0,75

5 8,3 0,3

8

8 7,85 -0,15

7,88 -0,12

8 8,13 0,13

8 8,19 0,19

8 10,19 0,19

10 10,31 0,31

10 10,1 0,1

10 10,16 0,16

10 10,16 0,16

10 15,58 0,58

15 15,31 0,31

15 15,5 0,5

15 15,27 0,27

15 15,24 0,24

15 12,22 0,22

12 12,3 0,3

12 12,22 0,22

12 12,12 0,12

12 11,75 -0,25

12 18,02 0,02

18 18,05 0,05

18 18,22 0,22

18 17,79 -0,21

18 18,21 0,21

18 Andamento della distribuzione degli errori per le prime

cinque misure

0,8

0,6

0,4

[V]

Errori 0,2

0 0 5 10 15 20

-0,2

-0,4 Tensioni [V]

Regressione lineare y = -0,0052x + 0,2547

0,8

0,6

0,4

[V]

Errori 0,2

0 0 5 10 15 20

-0,2

-0,4 Tensioni [V]

Andamento medio della distribuzione

0,4

0,35

0,3

[V] 0,25

Errori 0,2

0,15

0,1

0,05

0 5,22 5,55 4,99 5,26 5,75

Tensioni [V]


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nippon55

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher nippon55 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Misure elettroniche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Sannio - Unisannio o del prof Daponte Pasquale.

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