Studio di un sistema vibrante a 2 GdL

II

0.81

il primo gdl avente ampiezza volte il secondo. ()

1

I caso II caso

()

2 1

0.8

1 0.6

0.4

0.5

[m] [m] 0.2

Spostamento Spostamento

0 0

-0.2

-0.5 -0.4

-0.6

-1 -0.8

5 10 15 20 25 0 5 10 15

←4.54→ Tempo [s] ←2.63→ Tempo [s]

>> Periodo di oscillazione >> Periodo di oscillazione

T_x1 = T_x2 = 1/0.22 = 4.54 sec Tx1 = T_x2 = 1/0.38 = 2.63 sec

%Il sistema risponde secondo la prima frequenza propria %Il sistema risponde con la seconda pulsazione propria.

()

1

()

2

Spettri della risposta

I modo di vibrare II modo di vibrare

1.5 0.8

[m]

[m] 1 0.6

Spostamento

Spostamento 0.5 0.4

0 0.2

-0.5 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

100 50

0

[deg]

[deg] 0 -50

Fase

Fase -100 -100

-200 -150

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Frequenza [Hz] Frequenza [Hz]

4

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1 2

I picchi relativi agli spettri, rispecchiano le frequenze proprie del sistema. Nel I caso i picchi per e si

hanno in corrispondenza della prima frequenza propria (0.22 Hz). Nel II caso i picchi si hanno a 0.38 Hz,

ovvero la seconda frequenza propria. Nel primo caso, tra il primo e secondo gdl ci sono 180° di sfasamento,

mentre nel secondo caso entrambi i gdl hanno fase uguale.

Inserendo delle condizioni iniziali casuali: (0)

−3

] = [ ]

[ 1

(0) 1

2

Vedremo due risposte in controfase ma con due contributi armonici diversi, relativi alle due frequenze proprie

che agiscono contemporaneamente. Caso misto (I+II modo)

2

1 ()

[m] 1

()

0

Spostamento 2

-1

-2

-3 0 5 10 15 20 25

Tempo [s]

()

1

Spettri della risposta ()

2

3

[m] 2

Spostamento 1

0

-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

100

[deg] 0

Fase -100

-200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Frequenza [Hz]

1.3 – Integrale particolare

L’integrale particolare è nullo poiché non vi sono applicate forzanti.

5

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CASO 2 – SISTEMA LIBERO SMORZATO

2.1 – Equazione di Moto

Inserendo nello script al calcolatore i valori di smorzamento dati otteniamo le seguenti matrici generalizzate.

>> PARAMETRI_SISTEMA

M = 5.75 0

0 5.00

R = 2.30 0.80

0.80 0.90

K_el = 20 10

10 20

K_g =

73.57 0

0 0

K = 93.57 10.00

10.00 20.00

Q_q = 0

0

La nuova equazione di moto è: ̈ () ̇ () ()

5.75 0 [2.3 0.8 93.6 10

[ ] [ ] + ] [ ] + [ ] [ ] =

1 1 1

5 0.8 0.9 10 20

0 ̈ () ̇ () ()

2 2 2

2.2 – Integrale generale

L’integrale generale questa volta ci fornirà, diversamente dal caso 1, due modi di vibrare complessi. Ciò

indica che, se le entità smorzanti sono sufficientemente diverse tra loro, vi è uno sfasamento relativo tra il

primo grado di libertà ed il secondo. Le frequenze proprie non cambiano il loro valore.

>> Integrale_generale

Prima frequenza propria: 0.22 Hz

Seconda frequenza propria: 0.38 Hz

Primo modo di vibrare:

-1.06 0.10i

1.00 0.00i

Secondo modo di vibrare:

0.81 0.13i

1.00 0.00i

I modi di vibrare risulteranno i seguenti:

I modo II modo

[−1.06 + 0.10 0.81 + 0.13

= ] = [ ]

1 1

10 10

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Eseguiamo lo script con le condizioni iniziali di seguito riportate.

I caso II caso

(0) (0)

−1.06 0.81

[ ] = [ ] [ ] = [ ]

1 1

(0) 1 (0) 1

2 2

̇ (0) ̇ (0)

0 0

[ ]=[ ] [ ]=[ ]

1 1

0 0

̇ (0) ̇ (0)

2 2

()

1

I caso II caso

()

2 1

1 0.8

0.6

0.5 0.4

[m] [m] 0.2

Spostamento Spostamento

0 0

-0.2

-0.5 -0.4

-0.6

-1 -0.8

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 5 10 15 20 25

Tempo [s] Tempo [s]

1 1 2

Risposte quasi in controfase con ampia 1.06 volte Risposte quasi in fase con 0.81 volte .

2 . ,

11 21

Funzioni di trasferimento ( )

0.8 0.8

[m/N] [m/N]

Integrazione Integrazione

0.6 0.6

Teorico Teorico

0.45

FdT FdT 0.41

0.4 0.4

Ampiezza Ampiezza

0.2 0.2 0.105

0.09

0 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Frequenza [Hz] Frequenza [Hz]

0 200

0 180

Integrazione Integrazione

[m/N] [m/N]

-50 100

Teorico Teorico

-88 0

FdT FdT

-100 0

Fase Fase

-150 -100 -180

-180

-200 -200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Frequenza [Hz] Frequenza [Hz]

Aumentando lo smorzamento si ha che le oscillazioni, all’aumentare del tempo, si riducono sempre di più fino

a quando il sistema, sottoposto a perturbazione, torna direttamente a 0.

2.3 – Integrale particolare

Anche in questo caso non vi sono forzanti e quindi l’integrale particolare è nullo.

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CASO 3 – SISTEMA FORZATO NON SMORZATO

3.1 – Equazione di Moto

Calcoliamo le matrici generalizzate.

>> Matrici_generalizzate

M = 5.75 0

0 5.00

R = 0 0

0 0

K_el = 20 10

10 20

K_g =

73.57 0

0 0

K = 93.57 10.00

10.00 20.00

Q_q =

-50

0

Per cui l’equazione di moto assumerà questa forma:

[ ̈ () [ ()

5.75 0 93.6 10 [−50

4.4

[ ] ] + [ ] ] = ]

1 1

5 10 20

0 ̈ () () 0

2 2

3.1 – Integrale Generale

Risolvendo l’omogenea associata, troviamo le frequenze proprie e i modi di vibrare del sistema.

>> Integrale_generale

Prima frequenza propria: 0.22 Hz

Seconda frequenza propria: 0.38 Hz

Primo modo di vibrare:

-1.07 0.00i

1.00 0.00i

Secondo modo di vibrare:

0.81 0.00i

1.00 0.00i

Imponiamo le classiche condizioni iniziali, concordi a entrambi i modi di vibrare.

I caso II caso

(0) (0)

−1.07 0.81

[ ] = [ ] [ ] = [ ]

1 1

(0) (0) 1

1

2 2

̇ (0) ̇ (0)

0 0

[ ]=[ ] [ ]=[ ]

1 1

0 0

̇ (0) ̇ (0)

2 2

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3.2 – Integrale Particolare

Tramite le condizioni iniziali possiamo ora calcolare la risposta del sistema alla forzante assegnata.

()

1

I caso II caso

()

2

1.5 1.5

1 1

0.5 0.5

[m] [m]

Spostamento Spostamento

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

-1.5 0 10 20 30 40 50 -1.5

Tempo [s] 0 5 10 15 20 25 30

Tempo [s]

La risposta relativa al primo caso deriva dal primo modo di vibrare e rappresenta due risposte in controfase

(in assenza di smorzamento). Nella seconda immagine invece, abbiamo che le risposte sono in fase. In

entrambi i grafici si nota che entrambe le sinusoidi oscillano nel tempo. Questo ci fa intuire che esiste una

seconda componente armonica che modifica la risposta del sistema.

Considerando gli opportuni grafici che registrano gli spettri relativi allo spostamento dei due gradi di

libertà, notiamo come oltre alle componenti dovute alle del sistema vi è anche una

frequenze proprie

componente armonica avente la frequenza della forzante (0.7 Hz).

Di seguito si riportano i grafici relativi alle condizioni iniziali del caso 1:

(0) ̇ (0)

0

−1.07

] = [ ] ; [ ]=[ ]

[ 1 1 0

(0) ̇ (0)

1

2 2

I grado di libertà (fig. 101) II grado di libertà (fig. 102)

1.5 1

[m] [m] 0.8

1

Spostamento Spostamento 0.6

0.5 0.4

0 0.2

-0.5 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

50 200

0 100

[deg] [deg]

-50 0

Fase Fase

-100 -100

-150

-200 -200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Frequenza [Hz] Frequenza [Hz]

Nella figura 101 notiamo come vi siano due picchi alle frequenze 0.22 e 0.38 Hz (prima e seconda frequenza

propria) e un altro picco alla frequenza 0.7 Hz, ovvero la frequenza della forzante. Notiamo inoltre che il II

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grado di libertà (fig. 102) non risente particolarmente della forzante a 0.7 Hz poiché essa è applicata solo sul

disco e la massa in verticale risente solo delle forze imposte da molla e smorzatore.

Il contributo armonico della forzante in ingresso viene elaborato dalle FdT relative ai diversi gradi di libertà.

Le funzioni di trasferimento dipendono solo dal sistema e sono le stesse del Caso 1.

( )

1

( )

FdT 11 2

4

3

[m/N] 2

1

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

200

150

[deg] 100

50

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

[Hz]

Consideriamo il caso seguente. La risposta è caratterizzata da 3 armoniche a frequenze diverse. Il picco dello

spettro dovuto alla forzante è più evidente, questo perché la frequenza della stessa è compresa in un

intervallo della FdT tale per cui gli ingressi non vengono azzerati. A 0.7 Hz la FdT si presenta quasi nulla,

mentre a 0.3 Hz vi è una “valle” non nulla tra le frequenze di risonanza.

Forzante a 0.3 Hz ()

1.5 1

()

2

1

[m

] 0.5

ento

Spostam 0

-0.5

-1

-1.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Tempo [s]

()

1

Spettri della risposta ()

2 1

0.6 [m]

[m] 0.4 0.5

Spostamento

Spostamento 0.2 0

0 -0.5

-0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 100

100 Integrazione [deg] 0

[deg] 0 Fase

Fase -100

-100 -200

-200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Frequenza [Hz]

Frequenza [Hz] 10

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