Studio della linea elastica di una trave sottoposta a un carico crescente

Anno Accademico 2006/2007

Sommario

In questo laboratorio ci proponiamo di studiare il comportamento di una trave incastrata soggetta

all’azione di una forza concentrata nel suo estremo libero. In particolare vogliamo verificare la

legge relativa alla linea elastica e confrontare le letture raccolte con i valori teorici calcolati per

mezzo delle formule relative alla deformata elastica.

Introduzione

Il sistema da studiare è costituito da una serie di sei aste metalliche che verranno di volta in volta

fissate al banco di lavoro tramite apposite morse e struttura di sostegno. Tramite tali morse,

costituite da blocchi di metallo stretti assieme da brugole e dotati di cave per inserire le aste, viene

acciaio forata. Essa serve per collocare gli strumenti di misura sopra l’asta

fissata una trave in da prendere nota dell’inflessione subita. Gli strumenti a disposizione

metallica da studiare, così sull’asta

sono tre comparatori centesimali ad orologio, posizionati con fondoscala crescente

muovendosi verso l’estremo libero dove verrà applicato il carico. Il primo dispositivo ha fondoscala

10 mm, il secondo 30 mm e l’ultimo può misurare spostamenti al massimo di 50 mm. I comparatori

devono essere disposti ad una distanza nota rispetto all’incastro: è deciso che per le aste di

lunghezza pari a 500 mm, l’inflessione verrà misurata a 100, 300 e 500 mm dal punto di incastro.

Per l’unica trave lunga 600 mm, le misure verranno eseguite a 200, 400 e 600 mm. All’estremo

libero dell’asta viene posto un porta-pesi la cui massa è ritenuta trascurabile rispetto alle altre

grandezze in esame.

I corpi a disposizione per caricare la trave sono tre pesi, due di massa pari a 1 Kg, e l’altro è di 2

L’asta sarà caricata con pesi crescenti a partire da 2Kg, poi 3 Kg e infine 4 Kg.

Kg. Il carico

complessivo agente sull’asta è pari al carico imposto più la forza esercitata dal misuratore. Nel

momento in cui posizioniamo i comparatori sull’asta, la molla presente al loro interno si schiaccia

rivolta verso il basso, se il dispositivo è posto sopra l’asta, per tornare allo

esercitando una forza F

m,i

iniziale. Nel momento in cui carichiamo l’asta con un corpo che la flette verso il basso, la

stato

forza F che ora la molla del misuratore esercita è minore rispetto a quella iniziale. Infatti, il carico

m,f

aggiunto tira verso il basso facilitando l’allungamento della molla e il suo ritorno alla condizione

iniziale. Dunque, anche se si tratta di variazioni del tutto trascurabili per i nostri scopi, ci

aspettiamo che la presenza dell’effetto di carico porti a fare letture inferiori rispetto a quelle che



F > F y < y

otterremmo nel caso ideale. m,i m,f misurato reale

Una volta fissata l’asta nella morsa e posizionati correttamente i tre strumenti di misura, prima di

procedere nelle letture bisogna prendere nota del valore segnato sul quadrante dei comparatori.

Infatti essi sono strumenti che non forniscono un valore di lunghezza assoluto, ma indicano uno

spostamento rispetto a un valore di riferimento iniziale. Pertanto, verificato che l’astina dei

comparatori sia libera di scorrere nel foro della trave di sostegno, bisogna riportare ad un valore

noto la lettura segnata sul quadrante. Per far questo bisogna allentare la vite che fissa i dispositivi di

misura sulla trave, e spostarli adeguatamente più in alto o più in basso in modo che la lancetta che

1

misura gli spostamenti in millimetri si porti su un valore intero. Fatto questo la vite va stretta, e con

i comparatori fissati alla trave si ruota il riferimento del quadrante esterno che da i centesimi di

millimetro. Ora è possibile applicare il carico alla trave e prendere nota del nuovo valore segnato

dai comparatori. La misura dell’inflessione è data dalla differenza tra il valore iniziale, e quello letto

dopo l’applicazione del carico. Ovviamente se si parte dallo 0.00 mm e la lancetta va in negativo, lo

spostamento va riferito al fondoscala di quello strumento.

Noto il materiale di cui sono composte le sei aste, dalle apposite tabelle possiamo determinare il

che servirà per l’analisi dei dati raccolti.

valore del loro modulo elastico (E),

Cenni teorici

L’andamento teorico dell’inflessione è determinato dalla nota legge:

2

d V ( x ) M ( x )

 

y ' ' ( x ) 2 EJ

dx

dove M(x) è il momento flettente del corpo in esame. È positivo se sono tese le fibre superiori e la

trave incastrata è nullo all’estremo

deformazione y è dalla parte delle fibre tese. Il momento per una

libero e massimo all’estremo incastrato. Poiché l’andamento del momento flettente relativo a forza

considerando come origine del sistema di riferimento l’incastro della trave,

concentrate è lineare, si

ha che:

 

M ( x ) P (

l x )

Integrando due volte questa equazione e risolvendo il problema di Cauchy si ottiene:

 

x x

2 2

d V ( x ) P (

l x ) dV ( x ) d V ( x ) Pl px Pl Pl

 



       

2

( x ) dt dt x x c

1

2 2

EJ dx EJ EJ 2 EJ

dx dx

0 0

 

x x x 2 3

dV ( x ) Pl Pl Px Px

  



        

 

2

V ( x ) ( x ) dt dt x x c dt c x c

1 1 2

 

dx EJ 2 EJ 2 EJ 6 EJ

0 0 0

Ora sfruttiamo le condizioni al contorno per abolire l’indeterminazione: l’incastro ci garantisce che

y’(0)=0,

lo spostamento trasversale V(x) e che la rotazione siano nulli. In altri termini y(0) = 0 e

momento e sua derivata nulli nel punto di incastro.

      

y ( 0

) V ( x ) 0 0 0 c c 0

2 2



      

y ' ( 0 ) ( 0

) 0 0 0 c c 0

1 2

Pl P

  

2 3

y ( x ) V ( x ) x x

2 EJ 6 EJ

Ora è possibile ricavare l’espressione semplificata del valore dell’inflessione alla distanza l:

   

2 3 3 3

Pl l P l Pl 1 1 Pl

    

 

V (

l )  

 

 

EJ 2 EJ 6 EJ 2 6 3 EJ

Inflessione teorica

5

(mm) 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-freccia- -5

-10

V(x)

-15 3 2

y = 7E-08x - 0,0001x - 5E-15x + 6E-14

-20 x -distanza dall'incastro- (mm)

Inflessione teorica calcolata per il caso Asta 1: sezione rettangolare 15x10, piena; l = 500mm;

Mpa; carico = 4 Kg ≈ 39.24 N

E=72000 2

Dati elaborati & Grafici Grandezze

Dimensioni & Grandezze date calcolate

Forza

Asta Materiale Sezione L (mm) E (Mpa) b (mm) h (mm) m (Kg) J (mm4) (N)

0 0

Alluminio 2 19,62

rettangolare

1 Anticorodal 500 72000 15 10 1250

15X10 mm 3 29,43

16 4 39,24

0 0

2 19,62

Acciaio rettangolare

2 500 206000 15 10 1250

Fe360 15X10 mm 3 29,43

4 39,24

0 0

Alluminio 2 19,62

rettangolare

3 Anticorodal 600 72000 15 10 1250

15X10 mm 3 29,43

16 4 39,24

0 0

Alluminio 2 19,62

rettangolare

4 Anticorodal 500 72000 10 15 2812,5

10X15 mm 3 29,43

16 4 39,24

0 0

rettangolare 20 10 1666,667

Alluminio 2 19,62

cava 20 X 10

5 Anticorodal 500 72000

mm spessore 3 29,43

16 18 8 768

1.5 mm 4 39,24

0 0

Alluminio 2 19,62

rettangolare

6 Anticorodal 500 72000 30 10 2500

30X10 mm 3 29,43

16 4 39,24

Comparatore 1, fondoscala 10mm

freccia freccia

lettura

Asta Materiale Sezione Forza (N) X (mm) sperimentale teorica

(mm) (mm) (mm)

0 5 0 0

Alluminio 19,62 4,38 0,62 0,51

rettangolare

1 Anticorodal 100

15X10 mm 29,43 4,07 0,93 0,76

16 39,24 3,75 1,25 1,02

0 4 0 0

19,62 3,79 0,21 0,18

Acciaio rettangolare

2 100

Fe360 15X10 mm 29,43 3,68 0,32 0,27

39,24 3,57 0,43 0,36

0 7 0 0

Alluminio 19,62 4,34 2,66 2,33

rettangolare

3 Anticorodal 200

15X10 mm 29,43 2,95 4,05 3,49

16 39,24 1,61 5,39 4,65

0 10 0 0

Alluminio 19,62 9,72 0,28 0,23

rettangolare

4 Anticorodal 100

10X15 mm 29,43 9,57 0,43 0,34

16 39,24 9,42 0,58 0,45

3

rettangolare 0 5 0 0

Alluminio cava 20 X 10 19,62 4,28 0,72 0,71

5 Anticorodal mm 100

29,43 3,9 1,1 1,06

16 spessore 1.5 39,24 3,53 1,47 1,42

mm 0 5 0 0

Alluminio 19,62 4,69 0,31 0,25

rettangolare

6 Anticorodal 100

30X10 mm 29,43 4,53 0,47 0,38

16 39,24 4,35 0,65 0,51

Comparatore 2, fondoscala 30mm

freccia freccia

lettura

Asta Materiale Sezione Forza (N) X (mm) sperimentale teorica

(mm) (mm) (mm)

0 30 0 0

Alluminio 19,62 25,75 4,25 3,92

rettangolare

1 Anticorodal 300

15X10 mm 29,43 23,52 6,48 5,89

16 39,24 21,38 8,62 7,85

0 25 0 0

19,62 23,51 1,49 1,37

Acciaio rettangolare

2 300

Fe360 15X10 mm 29,43 22,78 2,22 2,06

39,24 22,03 2,97 2,74

0 30 0 0

Alluminio 19,62 21,04 8,96 8,14

rettangolare

3 Anticorodal 400

15X10 mm 29,43 16,44 13,56 12,21

16 39,24 12,94 17,06 16,23

0 1 0 0

Alluminio 19,62 29,02 1,98 1,74

rettangolare

4 Anticorodal 300

10X15 mm 29,43 27,29 3,71 2,62

16 39,24 26,97 4,03 3,49

rettangolare 0 27 0 0

Alluminio cava 20 X 10 19,62 22,45 4,55 5,46

5 Anticorodal mm 300

29,43 19,98 7,02 8,19

16 spessore 1.5 39,24 17,59 9,41 10,92

mm 0 25 0 0

Alluminio 19,62 23,95 1,05 1,96

rettangolare

6 Anticorodal 300

30X10 mm 29,43 22,87 2,13 2,94

16 39,24 20,75 4,25 3,92

Comparatore 3, fondoscala 50mm

freccia freccia

lettura

Asta Materiale Sezione Forza (N) X (mm) sperimentale teorica

(mm) (mm) (mm)

0 40 0 0

Alluminio 19,62 30,37 9,63 9,08

rettangolare

1 Anticorodal 500

15X10 mm 29,43 25,37 14,63 13,63

16 39,24 20,53 19,47 18,17

0 40 0 0

19,62 36,64 3,36 3,17

Acciaio rettangolare

2 500

Fe360 15X10 mm 29,43 34,98 5,02 4,76

39,24 33,29 6,71 6,35

4

0 43 0 0

Alluminio 19,62 26,83 16,17 15,7

rettangolare

3 Anticorodal 600

15X10 mm 29,43 17,02 25,98 23,54

16 39,24 8,45 34,55 31,39

0 0 0 0

Alluminio 19,62 45,46 4,54 4,04

rettangolare

4 Anticorodal 500

10X15 mm 29,43 43,2 6,8 6,06

16 39,24 40,93 9,07 8,07

rettangolare 0 51 0 0

Alluminio cava 20 X 10 19,62 40,92 10,08 12,63

5 Anticorodal mm 500

29,43 35,4 15,6 18,95

16 spessore 1.5 39,24 30,07 20,93 25,27

mm 0 41 0 0

Alluminio 19,62 36,46 4,54 4,54

rettangolare

6 Anticorodal 500

30X10 mm 29,43 33,98 7,02 6,81

16 39,24 31,53 9,47 9,08

Inflessione dell'asta1, soggeta ad un carico di 2 Kg

0

(mm) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-2

-4