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Verifica della linea elastica di una trave

In questo laboratorio ci proponiamo di studiare il comportamento di una trave soggetta all’azione di una forza concentrata a diverse distanze dal punto di incastro. In particolare vogliamo verificare la legge relativa alla linea elastica e confrontare le letture raccolte utilizzando diversi trasduttori.

Esame di Misure meccaniche e termiche I docente Prof. B. Saggin

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MISURE MECCANICHE E TERMICHE I

LABORATORIO 4

Verifica della linea elastica di una trave

2006

Sommario di studiare il comportamento di una trave soggetta all’azione di

In questo laboratorio ci proponiamo

una forza concentrata a diverse distanze dal punto di incastro. In particolare vogliamo verificare la

legge relativa alla linea elastica e confrontare le letture raccolte utilizzando diversi trasduttori.

Introduzione

sistema da studiare è costituito da un’asta metallica fissata al banco di lavoro tramite l’apposita

Il

morsa. Noto il materiale con cui è fatta l’asta, nel nostro caso si tratta di alluminio, possiamo

tabelle il valore del suo modulo elastico che servirà per l’analisi dei dati

determinare dalle apposite

raccolti. L’asta è dotata di un gancio con filo metallico, attraverso il quale è possibile attaccare dei

l’effetto di una forza concentrata proprio nel punto in cui c’è la vite del gancetto.

corpi che simulino

Questo significa che tutte le distanze tra il punto di incastro dell’asta e di azione della forza

e non dall’estremo libero dell’asta (a meno che essi

dovranno essere misurate a partire dal gancio,

coincidano). Per simulare dei carichi che agiscono a diverse distanze dal punto di incastro, visto che

dotare l’asta di molti ganci modificherebbe totalmente la struttura del corpo stesso, decidiamo di

spostare l’incastro. In altre parole, i pesi dell’asta, mentre essa

agiranno sempre nello stesso punto

verrà di volta in volta fatta scorrere nella morsa a seconda della distanza forza-incastro considerata.

la lunghezza dell’asta, le distanze forza-incastro

È stabilito che detta l da considerare sono l, 2/3l,

1/3l. Prima di considerare la linea elastica, procediamo col verificare che la deformazione subita

dall’asta è direttamente proporzionale al carico applicato. Agganciando al corpo metallico pesi

diversi prendiamo nota della deformazione attraverso i trasduttori di spostamento che abbiamo a

disposizione, ovvero il trasduttore induttivo, il comparatore centesimale, e il laser a triangolazione.

Tali valori raccolti in un grafico e interpolati devono dar origine ad una retta, in quanto la relazione

carico applicato e deformazione è lineare.

Verificata la linearità, si procede a misurare la linea elastica. Anche in questo caso si raccolgono i

dati forniti da tutti e tre gli strumenti, per poi controllare come essi si comportino rispetto

all’andamento teorico dell’inflessione determinato dalla seguente legge, nota dalla Scienza delle

Costruzioni:

M ( x )

y ' ' ( x ) EJ

M(x) è il momento flettente del corpo in esame. È positivo se sono tese le fibre superiori e la

è nullo all’estremo

deformazione y è dalla parte delle fibre tese. Il momento per una trave incastrata

libero e massimo all’estremo incastrato. Poiché l’andamento del momento flettente relativo a forza

concentrate è lineare, si ha che:

 

M ( x ) P (

1 x )

Integrando due volte questa equazione e risolvendo il problema di Cauchy si ottiene:

 3

P (

l x )

  

y ax b

EJ 6

 2

P (

l x )

  

y ' a

EJ 2 3 3

P l P l

      

y ( 0 ) 0 0 b b

EJ 6 EJ 6

2 2

P l P l

      

y ' ( 0 ) 0 0 a a

EJ 2 EJ 2

 

 3 2 3

P (

l x ) l l

  

 

y x

 

EJ 6 2 6 1

In cui le costanti a e b sono state ricavate considerando le condizione al contorno y(0) = 0 e

y’(0)=0, momento e sua derivata nulli nel punto di incastro. Ora è possibile ricavare l’espressione

dell’inflessione alle distanze interessanti

semplificata del valore l, 2/3l, 1/3l.

 

   

3 2 3 3 3

3 P (

l l ) l l Pl 1 1 Pl

     

   

y l l  

   

3 EJ 6 2 6 EJ 2 6 3 EJ

 

   

3 2 3 3 3

2 P (

l 3

) l 2

l l Pl 1 1 1 14 Pl

      

   

y l  

   

3 EJ 6 2 3 6 EJ 27 6 3 6 81

EJ

 

   

3 2 3 3 3

1 P ( 2

l 3

) l l l Pl 8 1 1 4 Pl

      

   

y l  

   

3 EJ 6 2 3 6 EJ 27 6 6 6 81

EJ

Le misurazioni da effettuare comportano non pochi problemi in quanto il sistema da studiare è

particolarmente delicato.

metodo utilizzato per realizzare l’incastro

Innanzitutto il è paragonato al caso di una trave incastrata

che blocca l’asta

in un muro, ma non è esattamente la stessa situazione. Infatti, la morsa il cui

spessore è di pochi millimetri, è dotata di rivestimenti di materiale plastico nei quale è realizzato un

In questo modo il reale punto in cui l’asta è incastrata non è l’estremo della morsa, ma è un

intaglio.

altro punto più distante dal carico applicato. Tale distanza non può essere calcolata agevolmente,

anzi verrà del tutto trascurata nonostante delle variazioni di pochi millimetri sulla distanza l

comportano grandi cambiamenti nel risultato finale. Infatti la distanza forza-incastro compare al

cubo nell’espressione che permette di calcolare l’inflessione.

carico applicato ha anch’esso una sua incertezza ma è trascurabile rispetto a quella relativa agli

Il

altri strumenti, infatti si tratta di campioni garantiti. Come carico P non è però considerato il gancio

solidale con l’asta né il filo metallico.

Gli strumenti utilizzati per compiere le misure comportano un errore di inserzione nel momento in

cui entrano in contatto con l’oggetto da analizzare. Il trasduttore induttivo e il comparatore

ovvero un’astina

esercitano una forza sul corpo a causa del loro stesso principio di funzionamento,

attaccata ad una molla che può muoversi lungo una guida. Questi strumenti comportano un effetto

di carico che può risultare non trascurabile in rapporto al sistema studiato. Il carico complessivo

agente sull’asta è pari al carico imposto più la forza esercitata dal misuratore. Nel momento in cui

posizioniamo il trasduttore sull’asta, la molla presente al suo interno si schiaccia esercitando una

rivolta verso il basso, se il dispositivo è posto sopra l’asta, per tornare

forza F allo stato iniziale.

m,i

Nel momento in cui carichiamo l’asta con un corpo che la flette verso il basso, la forza F che ora

m,f

la molla del misuratore esercita è minore rispetto a quella iniziale. Infatti il carico aggiunto tira

verso il basso facilitando l’allungamento della molla e il suo ritorno alla condizione iniziale.

Dunque ci aspettiamo che la presenza dell’effetto di carico porti a fare letture inferiori rispetto a

quelle che otterremmo nel caso ideale.

F > F y < y

m,i m,f misurato reale

l’errore

Se di inserzione dovuto al laser è nullo, poichè è trascurabile la forza esercitata dai fotoni,

non si può non considerare che questo dispositivo per funzionare correttamente ha bisogno che la

superficie dell’oggetto da studiare sia lambertiana. Ovvero deve riflettere la luce in tutte le

direzioni, poiché il funzionamento è basato sulla luce laser diffusa e non riflessa. Per determinare

almeno in modo qualitativo come si comporta lo strumento al variare del tipo di superficie,

ripetiamo la misura della linea elastica considerando i casi: asta metallica lucida (le superfici a

specchio non diffondono la luce); asta metallica colorata di nero (non diffonde la luce); asta

metallica rivestita di un sottile strato di nastro adesivo bianco opaco (superficie lambertiana). 2

Presentazione del metodo sull’asta

Una volta verificato il corretto funzionamento di tutti gli strumenti di misura, si segnano

metallica delle linee parallele al lato “larghezza” poste a distanza pari a l, 2/3l, 1/3l e 0 dal punto in

cui c’è il gancio, ricordando che l è la distanza punto di applicazione della forza e punto di incastro

dell’asta. Si prende nota dei valori delle dimensioni del corpo metallico stesso, indicando per ogni

lato che tipo di strumento è stato utilizzato per la rilevazione in modo da poter successivamente

calcolarne l’incertezza. aggancia l’asta metallica alla morsa

Si in modo che essa rimanga

linearità dell’asta

orizzontale. Si procede a effettuare le letture relative alla verifica della

distanza dall’incastro (l),

caricandola, sempre alla stessa con corpi di massa via via crescente e

misurando la deformazione. Questa operazione è ripetuta per tutti e tre gli strumenti di misura a

disposizione. È importante prestare molta attenzione a come i dispositivi per la misura sono

rispetto al piano dell’asta.

collocati Uno dei fenomeni nei quali si può incorrere in caso di

posizionamento scorretto è la parallasse: uno stesso oggetto osservato da posizioni differenti da

luogo a misure diverse. Se l’asse del nostro strumento non è perpendicolare al piano dell’asta, non

misuriamo la distanza tra corpo in configurazione rettilinea ad una deformata, ma la proiezione di

questa distanza sull’asse inclinato dello strumento. Per evitare l’insorgere di questo errore è

dei tre strumenti siano sempre perpendicolari al piano dell’asta,

necessario che gli assi e ciò è

possibile grazie ai morsetti snodati che permettono di modificare opportunamente l’assetto del

sistema. Quando si utilizzano strumenti collegati ad un multimetro, come il trasduttore di

spostamento e il laser, si posiziona il dispositivo sull’asta scarica, si tara lo strumento annullando il

si carica l’asta

valore della lettura e solo successivamente prendendo nota del valore che appare sul

display. Il dispositivo del laser a triangolazione presenta una serie di sei led che si accendono a

seconda che la misura è compiuta in modo corretto o meno. I led sono indicati con le sigle F1, F2,

MIN, OK, MAX, Ein. Quando in corrispondenza dei termini OK e Ein si accende il led verde

significa che si può procedere a rilevare la misura.

Raccolti i dati relativi alla verifica della linearità si stabilisce quale massa campione utilizzare per

determinare la linea elastica. Abbiamo scelto il corpo di massa pari a 0.5 Kg. Sempre utilizzando

gli strumenti si procede a misurare l’inflessione della trave alle distanze dal punto di

tutti e tre

incastro precedentemente indicate. Come verifica del funzionamento del laser a triangolazione

dipendente dal grado di diffusione di una superficie, le letture effettuate con questo strumento

possono essere ripetute colorando l’asta metallica di nero e poi di bianco.

Apparato strumentale

Per realizzare questa esercitazione sono stati utilizzati numerosi strumenti di misura: I) un calibro,

II) un micrometro; III) un comparatore centesimale; IV) un multimetro; V) un trasduttore induttivo;

VI) un laser a triangolazione; VII) un righello millimetrato.

Calibro Micrometro Comparatore

MAHR MITUTOYO SHAN

Marca 16 DN inoxyd / /

Modello 150.00 mm 25.00 mm 10 mm

Fondo scala nominale 153.25 mm 26.00 mm 10 mm

Fondo scala reale 0.05 mm 0.01 mm 0.01 mm

Risoluzione ( r )

Incertezza ( r / 2√3 ) 0.014 mm 0.003 mm 0.003 mm

Stato di taratura data non indicata 3

Il Multimetro Agilent 34401A

in laboratorio è l’Agilent

Il multimetro utilizzato

34401A. Esso fornisce una combinazione di

risoluzione, accuratezza e velocità a costi

competitivi. Vediamo alcuni dati tecnici:

fondoscala di 1000 Volt con 6½ di risoluzione

digitale; 0.0015% accuratezza a 10 dcV (24

hour); 0.06% accuratezza a 10 dcV (1 year); da 3

Hz a 300 kHz ac larghezza di banda della

frequenza; 1000 letture al secondo direttamente

attraverso GPIB nel formato ASCII.

La tabella qui riportata tratta dal datasheet dell’apparecchio, mostra come determinarne

l’accuratezza relativa alla misura della tensione di corrente in funzione della lettura e del

fondoscala. È inoltre evidente che tale valore cresce all’aumentare del tempo trascorso dalla taratura

dello strumento, da un minimo di ventiquattro ore, ad un massimo di un anno. Nel nostro caso gli

strumenti escono sicuramente da questo range, ma ciò non comporta problemi in quanto il

contributo di incertezza dato dal multimetro è trascurabile rispetto a quella degli altri dispositivi

utilizzati. 0

.

0035 0

.

0005

     

0

.

0035

% 0

.

005

% misura fs u

E reading range i

100 100

Il trasduttore induttivo HBM WA/10mm

Un trasduttore di spostamento induttivo è essenzialmente costituito da due avvolgimenti coassiali

all’interno dei quali è libera di scorrere un’astina metallica. L’induttanza di ciascuno dei due

vi entra all’interno, mentre se il corpo si

avvolgimenti cresce man mano che il corpo metallico

allontana dall’avvolgimento la sua induttanza si riduce. Dunque, collegando i due solenoidi ad un

circuito opportuno, la misura dell’impedenza del sistema e della corrispondente tensione dà

sullo spostamento dell’astina metallica.

indirettamente informazioni

Dal datasheet fornito dai produttori dello strumento e

reperibile sul sito www.hbm.com abbiamo raccolto

le seguenti informazioni relative al trasduttore

utilizzato:

- errore di linearità % ±0.2 al ±0.1 fs

- grado di protezione IP67 (IP54)

- corsa nominale [mm], 0 ... 2, 10, 20, 50, 100

- range di temperatura nominale [°C] -20 ... +80

(+150)

- frequenza [kHz] 4.8 ±1% 4


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Cesii

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Cesii di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Misure meccaniche e termiche I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Saggin Bortolino.

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