Statistica per la ricerca sperimentale - Inferenza statistica

P P

x = 88.2 e (x 2.94) = 148.5.

i i

i=1 i=1

C.7) Si consideri un campione casuale semplice costituito da variabili casuali X , . . . , X , che

1 100

corrispondono alla misurazione del tasso di colesterolo nel sangue di 100 individui, scelti a caso

da una certa popolazione oggetto di studio. L’esperimento ha fornito i seguenti risultati in

100 100 2

P P

g/dl: x = 155 e x = 290.25. Nell’ipotesi che il modello statistico di riferimento sia

i

i=1 i=1 i −

normale, si fornicano gli intervalli di confidenza di livello 1 α = 0.90 per la media e la varianza

del tasso di colesterolo nel sangue.

C.8) Un’industria alimentare che produce pasta dispone di un macchinario che fornisce pac-

chi dal peso netto dichiarato di 0.5 Kg. In realtà, il peso di una generica confezione di pasta è

∈

descritto da una variabile casuale con distribuzione di probabilità normale di media µ IR e var-

2

ianza σ > 0, entrambe ignote. Si estraggono casualmente 12 pacchi di pasta, il cui peso effettivo

in Kg è (0.498, 0.489, 0.503, 0.493, 0.491, 0.499, 0.512, 0.504, 0.483, 0.506, 0.510, 0.509). Sulla base

−

di tale campione osservato, si determinino gli intervalli di confidenza per µ di livello 1 α = 0.95

2

− −

e 1 α = 0.99. Inoltre, si calcolino gli intervalli di confidenza per σ di livello 1 α = 0.9 e

−

1 α = 0.99. ≥

C.9) Si consideri un campione casuale semplice costituito da variabili casuali X , . . . , X , n 1,

1 n

indipendenti con distribuzione di probabilità Poisson di parametro λ > 0 ignoto. Nell’ipotesi

che n sia sufficientemente elevato, si determini un intervallo di confidenza approssimato per λ

−

di livello 1 α = 0.95. Si calcoli tale intervallo di confidenza con riferimento ad un campione

90

P x = 135.

osservato di dimensione n = 90 tale che i

i=1

C.10) Si consideri un campione casuale semplice costituito da n = 1000 variabili casuali

∈

X , . . . , X Bernoulliane con parametro p (0, 1) ignoto. Si determini un intervallo di con-

1 n −

fidenza approssimato per p di livello 1 α = 0.95. Si calcoli tale intervallo di confidenza con

1000

P

riferimento ad un campione osservato tale che x = 389.

i

i=1

C.11) È noto, dall’esperienza passata, che il numero di accessi in un’ora ad un sito per il com-

mercio elettronico è descritto da una variabile casuale con distribuzione di probabilità Poisson di

2

parametro λ ignoto. Si consideri in campione casuale semplice X , . . . , X che descrive il numero

1 n

≥

di accessi nelle ultime n 1 ore; la variabile casuale X , i = 1, . . . , n, corrisponde al numero

i

di accessi nell’i-esima ora. Si introduca un opportuno stimatore per λ e si determini l’associato

standard error. Se durante le ultime n = 96 ore si sono verificati 383 accessi, si fornisca, sulla

base dell’evidenza empirica, una stima per λ e si calcoli l’associato standard error stimato.

−

Inoltre, si determini un intervallo di confidenza per λ di livello approssimato 1 α = 0.90.

C.12) Si consideri un campione casuale semplice costituito da variabili casuali X , . . . , X ,

1 n

2

≥

n 1, indipendenti con distribuzione di probabilità normale con valor medio µ e varianza σ

2

ignoti. Si introduca un opportuno stimatore per σ e si individuino le sue proprietà. Nell’ipotesi

30

P

che, con riferimento ai risultati dell’indagine campionaria, si abbia n = 30, x = 36.76 e

i

i=1

30 2 2 −

P x = 102.27, si ottenga un intervallo di confidenza per σ di livello 1 α = 0.95.

i=1 i

C.13) Si consideri un campione casuale semplice costituito da variabili casuali X , . . . , X ,

1 n

≥ ∈

n 1, indipendenti con distribuzione di probabilità normale di media µ IR ignota e varianza

2

σ = 4 nota. Si calcolino le regioni di rifiuto unilaterale destra, unilaterale sinistra e bilaterale,

di livello α = 0.10, α = 0.05 e α = 0.01, per l’ipotesi nulla H : µ = 20, nel caso in cui n = 10.

0

10

P x = 185.8, si tragga una conclusione sull’ipotesi nulla, con riferimento a

Nell’ipotesi che i

i=1

ciascuno dei tre livelli di confidenza. Infine, si determini il livello di significatività osservato nei

tre casi di ipotesi alternativa unilaterale destra, unilaterale sinistra e bilaterale.

C.14) Un’industria alimentare che produce birra dichiara che il contenuto nominale di ogni

bottiglia è 330 ml. In realtà, il contenuto di una generica bottiglia è descritto da una variabile

2

∈

casuale con distribuzione di probabilità normale di media µ IR e varianza σ > 0, entrambe

20

P x = 6560,

ignote. Si scelgono casualmente 20 bottiglie, il cui contenuto totale osservato è i

i=1

20 2

−

P

con (x 328) = 194.56. Sulla base di tale campione osservato, si verifichi l’ipotesi nulla

i

i=1

H : µ = 330, al livello α = 0.05, contro un’ipotesi alternativa unilaterale sinistra. Inoltre, si

0

calcoli il livello di significatività osservato.

C.15) È noto, dall’esperienza passata, che il numero di interruzioni che ogni settimana avven-

gono in una determinata linea di produzione è descritto da una variabile casuale con distribuzione

di probabilità Poisson di parametro λ = 1. Se durante le ultime 52 settimane si sono verificate

85 interruzioni, si può ragionevolmente affermare che l’entità del fenomeno è cresciuta in modo

significativo? Per rispondere a tale domanda, si verifichi l’ipotesi nulla H : µ = 1, al livello

0

α = 0.01 approssimato, contro un’ipotesi alternativa unilaterale destra. Inoltre, si calcoli il

3

livello di significatività osservato approssimato.

C.16) Si consideri un campione casuale semplice costituito da variabili casuali X , . . . , X ,

1 n

2

≥ ∈

n 1, indipendenti con distribuzione di probabilità normale di media µ IR e varianza σ

ignota. Si calcolino le regioni di rifiuto unilaterale destra, unilaterale sinistra e bilaterale, di

2

livello α = 0.05 e α = 0.01, per l’ipotesi nulla H : σ = 12.5, nel caso in cui n = 12. Nell’ipotesi

0

che si sia osservato il campione (1, 2, 4, 5, 3, 5, 6, 0, 4, 6, 5, 8), si tragga una conclusione sull’ipotesi

nulla, con riferimento ai due livelli di confidenza. Infine, si determini il livello di significatività

osservato nel caso di regioni di rifiuto unilaterale destra, unilaterale sinistra e bilaterale.

C.17) Da indagini precedentemente svolte è noto che il peso alla nascita in Kg dei neonati, in

una determinata regione italiana, può essere ragionevolmente descritto da una variabile casuale

normale con varianza 0.36. Si considera un campione di 20 neonati con madre fumatrice e,

20 2

P

avendo rilevato il peso alla nascita x , . . . , x , si ricava che x̄ = 3.2 e (1/20) x = 10.69.

1 20 20 i=1 i

Si vuole indagare l’eventualità che l’abitudine al fumo porti ad un incremento nella variabilità

2

del peso alla nascita. Per rispondere a tale interrogativo si verifichi l’ipotesi H : σ = 0.36, a

0

fronte di un’alternativa unilaterale destra, considerando un livello di significatività α = 0.05.

C.18) Si considera un lotto di lampadine a basso consumo e si vuole verificare se la proporzione

p di lampadine difettose è 0.03, come affermato dal produttore. A tal fine si scelgono a caso 200

lampadine e 12 di esse risultano difettose. Si definisca un modello statistico parametrico utile

per descrivere l’esperimento in esame, si introduca un opportuno stimatore per p, si determini

l’associato standard error e si calcolino i corrispondenti valori di stima. Infine, con riferimento

ai risultati dell’indagine campionaria, si verifichi l’ipotesi H : p = 0.03 contro un’alternativa

0

unilaterale destra, ad un livello di significatività (approssimato) α = 0.05.

C.19) In un’indagine sull’altezza della popolazione adulta maschile si sono considerati due

campioni casuali semplici, di dimensione 100 e 50 rispettivamente, da tratti dalla popolazione

residente in due distinte regioni. Dai dati campionari si ottiene che l’altezza media in cm degli

individui estratti dalla prima popolazione è 170.3 e la media delle altezze al quadrato corrisponde

a 29120. Per quanto riguarda gli individui estratti dalla seconda popolazione, si ottengono i

seguenti valori di sintesi: 166.8 e 27943. Assumendo che l’altezza segua, in entrambe le regioni,

una distribuzione normale con la stessa varianza, si verifichi l’ipotesi che le altezze medie siano

uguali, a fronte di un’alternativa bilaterale, considerando un livello di significatività α = 0.05.

4

C.20) Si vogliono confrontare due metodi alternativi per determinare il contenuto di nichel

nell’acciaio. Si considerano 12 campioni di acciaio provenianti dalla stessa partita; con riferi-

mento a 5 di essi si utilizza la prima metodologia, mentre con riferimento agli altri 7 si applica

la seconda metodologia. Nel primo caso si ottengono i seguenti valori osservati per la media e

la varianza campionaria: 3.16 e 0.0018. Nel secondo caso, si ottengono i valori 3.24 e 0.0023.

Assumendo che le misurazioni, con entrambi i metodi, seguano una distribuzione normale con

la stessa varianza, si verifichi l’ipotesi che in media le due metodologie forniscano misurazioni

uguali, a fronte di un’alternativa bilaterale, considerando un livello di significatività α = 0.01.

C.21) Il Captopril è un farmaco per abbassare la pressione arteriosa. Per valutare la sua efficacia

si considera un campione casuale semplice di 12 individui a cui viene misurata la pressione

arteriosa prima e dopo l’assunazione del farmaco. I dati vengono riportati nella seguente tabella

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Individuo

Prima 200 174 198 170 179 182 193 209 185 155 169 210

Dopo 191 170 177 167 159 151 176 183 159 145 146 177

Con una opportuna procedura di verifica di ipotesi, si valuti se, alla luce del campione osser-

vato, il Captopril sembra efficace per ridurre la pressione arteriosa, considerando un livello di

significatività α = 0.01.

C.22) Per verificare l’efficacia di un vaccino in spray nasale per bambini, lo si somministra ad

un campione di 1070 bambini, mentre ad un secondo campione di 532 bambini si somministra

un placebo. Nel primo caso si riscontra che 14 bambini hanno contratto l’influenza, mentre nel

secondo caso gli ammalati risultano 95. Con una opportuna procedura di verifica di ipotesi,

si valuti se, alla luce dei campioni osservati, la proporzione di casi di influenza tra i bambibi

vaccinati risulti significativamente inferio