Statistica – Esercizi

La distribuzione è una uniforme continua e assume la seguente forma:

< <

⎧

1 / 3 per 2 5

x

=

( ) ⎨

f x

x 0 altrove

⎩ + = =

Pertanto la probabilità ricercata è pari a : Pr(-3<X<2) + Pr(2<X<2.5)= 0 (

1 / 3 * 0

.

5

) 1 / 6 0

. 17

Esercizio 3

Dire, senza utilizzare le tavole, se le seguenti affermazioni sono plausibili:

P(Z>1,4) < P(Z>1,8) FALSA

P(Z > 2,5) < P(Z <2,5) VERA

P(Z=0) = 0,5 FALSA

P(Z<0) = 0,5 VERA

(Z>0) = 0,5 VERA

∞ <Z<0)=0,5 VERA

P(-

con Z la normale standardizzata.

Esercizio 4

Una ditta confeziona pomodori pelati in scatola il cui peso è distribuito come una normale con

media uguale a 480 grammi e scarto quadratico medio pari a 16 grammi. Determinare la probabilità

che: 1

Quinta Esercitazione di Statistica Economica

Paolo Postiglione

Ci sia una scatola con peso compreso tra 512 e 536 grammi.

a) μ

− − −

⎛ ⎞

512 480 536 480

( ) X

≤ ≤ = ≤ ≤ =

⎜ ⎟

Pr 512 536 Pr

X σ

16 16

⎝ ⎠

( ) ( )

= ≤ ≤ = − = − =

Pr 2 3

.

5 3

.

5 ( 2

) 0

,

99977 0

,

97725 0

,

02252

Z F F

Esercizio 5:

Ad uno studente vengono poste 4 domande, ciascuna con una scelta di 3 risposte. Con X indichiamo

il numero delle risposte corrette nel caso in cui lo studente abbia ad indovinare ciascuna risposta.

Calcolare la funzione di probabilità, la media e la varianza di X.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

3 3 3 3

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅ =

Gli eventi elementari sono ovviamente pari a 81; infatti si ha: 81

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

1 1 1 1

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞

3

⎜ ⎟ ,

in quanto se si considera la prima domanda è possibile dare ovviamente una sola risposta ⎜ ⎟

1

⎝ ⎠

combinando tale risultando per le altre tre domande si ha il risultato.

Quindi le probabilità cercate sono:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2 2 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

1 1 1 1

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = =

Pr( 0

) 16 / 81

X 81

in quanto posso scegliere per ogni domanda una risposta dalle due che sono sbagliate e questo deve

verificarsi per tutte e quattro le domande;

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 2 2 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅

⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

1 1 1 1

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥

= = ⋅ = 32 / 81

Pr( 1

) 4

X ⎢ ⎥

81

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

in quanto se consideriamo che indoviniamo la prima domanda si deve scegliere l’unica risposta

giusta mentre si può liberamente scegliere per le altre domande una risposta sbagliata tra le due a

disposizione, se tale ragionamento viene ripetuto per tutte e 4 le domande si ottiene la probabilità

cercata. Iterando il ragionamento si ha:

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 2 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅

⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞

4 1

1 1 1

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎜ ⎟

= = ⋅ =

Pr( 2 ) 24 / 81

X ⎜ ⎟ ⎢ ⎥

2 81

⎝ ⎠ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

e infine: 2

Quinta Esercitazione di Statistica Economica

Paolo Postiglione ⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 1 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅

⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞

4 1 1 1 1

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎜ ⎟

= = ⋅ =

Pr( 3

) 8 / 81

X ⎜ ⎟ ⎢ ⎥

3 81

⎝ ⎠ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= =

Pr( 4

) 1 / 81

X

Quindi la funzione di probabilità risulta la seguente:

X p(x)

0 16/81

1 32/81

2 24/81

3 8/81

4 1/81

Il valore atteso della variabile è pari a:

X

4

( ) ( )

∑

= ⋅ = (0×16/81)+(1×32/81)+(2×24/81)+(3×8/81)+(4×1/81)=108/81= 4/3=1,33.

E X x p x

= 0

x

Il valore della varianza di è pari a:

X

4

( ) ( ) ( ) ( )

∑

μ 2 2

= − = − =

( 4 / 3

)

Var X E X x p x

= 0

x

2 2

×16/81] +[(1-(4/3)) ×32/81]+

=[(0-(4/3))

2 2

+[(2-(4/3)) ×24/81]+[(3-(4/3)) ×8/81]+

2

+[(4-(4/3)) ×1/81]= 648/729 = 8/9= 0,89

Esercizio n. 6:

Una variabile casuale discreta assume i valori 1,3, con probabilità rispettive 1/4, 1/4, 1/2; il valor

x

medio è Determinare la varianza.

E(X)=6.

Per definizione il valor medio è:

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

( ) 1 (

1 / 4 ) 3 (

1 / 4 ) (

1 / 2 ) 6

E X x

⇒ + =

1 / 2 6

x

⇒ = 10

x

Svolgimento

Pertanto la varianza è pari a: 3

( ) ( ) ( ) ( )

∑

μ 2 2

= − = − ⋅ =

6

Var X E X x p x

=

1

x 3