Statistica – Esercizi

X N

i i

10 – 15 3

15 – 20 7

20 – 25 16

25 – 30 12

30 – 35 9

35 – 40 5

40 – 45 2

60

13. Trovare media, mediana e moda dei seguenti due gruppi di numeri:

a) 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7;

b) 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7.

14. In un gruppo di sette piccoli cantieri il numero degli operai è il seguente: 2, 4, 5, 6, 9, 10, 13.

Calcolare la media aritmetica e verificare che la somma degli scarti è nulla. Calcolare altresì la mediana

e verificare che non vale la stessa proprietà.

15. La seguente tabella si riferisce ad un gruppo di 156 ragazzi che effettuano servizio rapido di

consegne in città, distribuiti secondo il guadagno giornaliero in migliaia di lire. Calcolare il guadagno

medio e mediano. n

guadagno i

5 – 10 9

10 – 15 15

15 – 20 48

20 – 25 36

25 – 30 27

30 – 35 21

Totale 156

16. Determinare la mediana della seguente distribuzione di 209 laureati secondo il voto conseguito

all’esame di laurea: n

Voto i

66 – 75 3

75 – 85 25

85 – 95 65

95 – 105 75

105 – 110 41

17. Calcolare la media aritmetica della distribuzione

X n

i i

25 10

38 18

42 27

63 36

89 9

Verificando che la somma degli scarti è nulla. Calcolare anche la mediana e verificare che tale

proprietà non è soddisfatta per gli scarti dalla mediana.

18. Calcolare la media aritmetica della distribuzione:

X 18 22 34 38 12

n 5 12 16 6 1

i

e la media aritmetica della distribuzione:

X 28 32 44 48 22

n 5 12 16 6 1

i

ottenuta dalla precedente aggiungendo 10 ad ogni valore del carattere e verificare che relazione esiste

tra le due medie.

19. La seguente tabella riguarda un collettivo di 30 operai distribuiti per classe di salario mensile in

migliaia di lire: n

Salari Ammontare

i salari

1000 – 1500 7 8400

1500 – 2000 15 27000

2000 – 2500 6 13200

2500 - 3000 2 5600

Determinare la mediana e la media aritmetica. Si supponga, inoltre, di conoscere gli ammontari

effettivi dei salari per classi ( ultima colonna), e calcolare la media aritmetica esatta, basata su tali

ammontari.

20. I tempi di arrivo di 8 nuotatori in una batteria di 200 metri stile libero sono stati i seguenti:

1:23 1:18 1:22 1:22 1:24 1:19 1:19 1:20

Calcolare il tempo medio della batteria.

21. Si considerino i tre insiemi di valori della variabile X:

( 4, 8, 15, 9, 11) ( 8, 16, 30, 18, 22) ( 11, 15, 22, 16, 18)

Si noti che ogni valore del secondo insieme è ottenuto moltiplicando per 2 il corrispondente valore del

primo insieme, e che ogni valore del terzo insieme è ottenuto aggiungendo 7 al corrispondente valore

del primo. Si calcoli la media per ogni insieme e si commentino i risultati, mettendo in relazione la

medie.

22. Dire con quali dei seguenti strumenti è possibile misurare la variabilità: moda, devianza,

istogramma.

23. Quale delle seguenti distribuzioni, relative ad una variabile X, mostra minore variabilità?

Rispondere calcolando il campo di variazione e lo scarto quadratico medio.

Xi ni Xi ni

0 5 0 1

1 5 1 4

2 5 2 15

3 5 3 4

4 5 4 1

24. Una raccolta di fondi per la ricerca contro le malattie genetiche ha visto coinvolte Francia, Italia e

Germania. Sono state calcolate le seguenti statistiche sull’entità e la variabilità delle donazioni nei tre

paesi: media s.q.m.

Francia 90 38

Italia 150 45

Germania 78 21

In quale nazione c’è stata maggiore variabilità nelle donazioni?

25. Si consideri la seguente classificazione di 1000 individui secondo il reddito annuo dichiarato:

n

reddito i

0 – 3 327

3 – 9 558

9 – 25 68

25 – 50 32

50 – 100 15

Calcolare lo scostamento semplice medio, la varianza e la devianza.

26. Sono qui di seguito riportate le distribuzioni di frequenza secondo il peso di un gruppo di 100

neonati e dell’insieme delle rispettive madri:

n n

Peso Peso

i i

1,5 – 2, 0 5 45 – 50 4

2,0 – 2,5 12 50 – 55 12

2,5 – 3,0 25 55 – 60 22

3,0 – 3,5 35 60 – 65 40

3,5 – 4,0 18 65 – 70 19

4,0 – 4,5 5 70 – 75 3

a) Determinare il range del peso dei neonati e di quello delle loro madri.

b) Dire quale dei due collettivi presenta maggiore variabilità rispetto alla media, utilizzando un

opportuno indicatore di variabilità.

27. E’ data la distribuzione delle retribuzioni orarie lorde contrattuali degli operai agricoli nelle 95

province italiane: X n

i i

6000 – 6200 54

6200 – 6300 28

6300 – 6400 8

6400 – 6600 3

6600 - 6800 2

Si calcoli lo scostamento quadratico medio e la devianza.

28. Trovare lo scarto quadratico medio dei numeri:

a) 3 6 2 1 7 5;

b) 3,2 4,6 2,8 5,2 4,4

c) 0 0 0 0 0 1 1 1

29. Il range dei voti ottenuti nell’esame di statistica in un campione di 80 studenti è pari a 9; il minor

voto ottenuto è 19. Qual è il voto maggiore che è stato conseguito? Quale sarebbe il voto maggiore

conseguito se, con lo stesso campo di variazione e lo stesso voto minimo il campione fosse di 120

studenti?

30. Calcolare lo s.q.m. della seguente distribuzione dei comuni italiani fino a 10.000 abitanti secondo la

popolazione censita nel 1991: N

X i

50 – 500 823

500 – 1000 1145

1000 – 3000 2716

3000 – 5000 1225

5000 - 10000 1156

31. Se tutti i valori di una variabile X vengono aumentati (diminuiti) di uno stesso valore k, lo s.q.m.

rimane invariato. Provare a dimostrarlo, e comunque verificare la proprietà sulle cifre seguenti:

9 11 27 41 47 51

una volta aumentandole di 7 e una volta diminuendole di 5.

32. Se tutti i dati di una variabile statistica X vengono moltiplicati ( o divisi) per uno stesso valore h, lo

s.q.m. risulta anche esso moltiplicato (diviso) per h. Provare a dimostrarlo e comunque verificare la

proprietà sui dati dell’esercizio precedente, una volta moltiplicando i dati per 3 e una volta dividendoli

per 2.

33. Nel 1986 il numero dei visitatori (in migliaia) degli Istituti Statali di antichità nelle regioni

dell’Italia meridionale è stato il seguente:

Abruzzo: 55; Campania: 2.968; Puglia: 209; Basilicata: 52; Calabria: 188; Sardegna: 56.

Calcolare la varianza.

34. Nel 1986 la produzione di cemento in alcuni paesi della CEE è stata la seguente: Regno Unito:

12,2; Belgio: 5,6; Germania:25,6; Francia: 22,2; Italia: 37,2; Spagna: 21,9. Calcolare il range e il

coefficiente di variazione. REGRESSIONE

1. Adattare una retta di regressione ai seguenti dati:

X 1 3 4 6 8 9 11 14

Y 1 2 4 4 5 7 8 9

Usando a) X come variabile indipendente e, successivamente b) X come variabile dipendente.

[Y=0,545+0,636X; X= -0,50+1,50Y]

2. Mostrare che le due rette dell’esercizio precedente passano per il punto baricentro. Stimare inoltre il valore di Y,

quando X=12 e il valore di X, quando Y=3. [Y(12)=8,2; X(3)=4,0]

3. La seguente tabella mostra i pesi X e Y di un campione di 12 padri e dei loro primogeniti:

X (peso padri) 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71

Y(peso figli) 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70

Si determini a) la retta di regressione di Y in X; b) la retta di regressione di X in Y.

[Y=35,82+0,476X; X=-3,38+1,036Y]

4. Calcolare per l’esercizio precedente la devianza spiegata, la devianza totale e quella residua.

[dev(Y*)=19,22; ; dev(Y)=38,92; dev(res)=19,70]

5. Calcolare, sempre per l’esercizio 3 i coefficienti di determinazione e di correlazione. [r=0,4938, r= 0,7027]

6. Determinare il coefficiente di correlazione tra le variabili X e Y della seguente tabella:

X 1,2 1,8 3,1 4,9 5,7 7,1 8,6 9,8

Y 4,5 5,9 7,0 7,8 7,2 6,8 4,5 2,7

Quale percentuale della variabilità totale è spiegata dalla retta di regressione? [r=-0,3743; 14,01%]

7. I prezzi medi delle azioni e delle obbligazioni della Borsa di New York per gli anni 1950-1959 sono riportati nella

seguente tabella:

obbligaz. 35,22 39,87 41,85 43,23 40,06 53,29 54,14 49,12 40,71 55,15

azioni 102,43 100,93 97,43 97,81 98,32 100,07 97,08 91,59 94,85 94,65

Determinare il coefficiente di correlazione e interpretare il risultato. [r=-0,4614]

8. La tabella sotto mostra i voti finali in algebra e fisica ottenuti da 10 studenti. Determinare le due rette di

regressione. Calcolare, inoltre, il voto di fisica di uno studente che ha preso in algebra (X) 75 e il voto in algebra di

uno studente che ha preso in fisica 95.

Algebra (X) 75 80 93 65 87 71 98 68 84 77

Fisica (Y) 82 78 86 72 91 80 95 72 89 74 [Y=29,13+0,661X; X=-14,39+1,15Y; Y=79; X=95]

9. Determinare le due rette di regressione per i seguenti dati:

X 6 5 8 8 7 6 10 4 9 7

Y 8 7 7 10 5 8 10 6 8 6 [Y=4+0,5X; X=2,408+0,612Y]

10. Calcolare per l’esercizio precedente la devianza totale (dev(Y)), la devianza spiegata (dev(Y*)) e la devianza

residua. [24,50; 17,00; 7,5]

11. Calcolare per l’esercizio 9 il coefficiente di correlazione e di determinazione. Interpretare i risultati. r=0,3061]

[r=0,5533;

12. Se il coefficiente di correlazione tra X e Y è 0,50, quale percentuale della varianza totale resta non spiegata con la

retta di regressione? [75%]

13. A 10 operai di una industria di automobili sono stati chiesti gli anni di lavoro (X) e lo stipendio percepito (Y) in un

anno. Si sono ottenuti i seguenti risultati:

media di X= 11,3 media di Y = 39,2 cod(X,Y)=441,4 dev(X)= 346,1 dev(Y)=593,6

Stimare la retta di regressione di Y su X e calcolare il coefficiente di correlazione. [Y= 24,793+1,275X; r= 0,974]

14. Quando il coefficiente angolare della retta di regressione è uguale a zero, quale valore assume il coefficiente di

correlazione? [r=0]

15. Siano X ed Y due caratteri quantitativi. In un insieme di unità, la retta di regressione di Y su X è risultata la

seguente: Y = 3 + 2X. Stabilire quali delle seguenti rette potrebbe esprimere la relazione di X su Y:

a) X= -3 – 0,5 Y b) X = 3 – 2Y c) X = -3 + 1,2 Y d) X = -3 + 0,2 Y [la soluzione d) è l’unica ammissibile]

16. Dati due caratteri X e Y si sono determinati il coefficiente di regressione b = 1,5 e il coefficiente di correlazione

yx

r=0,7. Si calcolino b e l’indice di determinazione.

xy r

=0,327; = 0,49]

[b xy

17. Nella seguente tabella sono riportati i tassi, per singole regioni, di nuzialità X e di natalità Y per 1000 abitanti:

X 4,7 4,9 5,5 5,2 4,5 4,6 4,2 4,7 4,9 4,7 5,4 5,3 5,3 6,6 6,3 6,0 5,9 6,1 5,5

Y 7,2 8,1 10,1 8,1 6,9 6,2 6,5 7,1 8,1 8,2 9,7 9,4 10,4 14,2 12,8 11,0 12,1 12,9 10,9

Determinare la retta di regressione di Y su X e il coefficiente di correlazione. Verificare inoltre che la retta passa per il

baricentro. [Y=-9,054+3,50X; r00,966]

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