sovrapposizione degli effetti alle onde

Problema sulle onde

Considera due oscillazioni di equazioni:

= + 3

= + 6

Dove A=3.5cm, b =2.0 rad/s, b =4.0 rad/s

1 2

Disegna il grafico y-t delle due onde al variare del tempo.

Disegna il grafico dell’onda ottenuta dalla loro sovrapposizione per t da 0 a 3 secondi.

Svolgimento

Per determinare l’onda risultante bisogna applicare il principio di sovrapposizione ovvero: dette y

1

ed y le due onde:

2

= + 3

= + 6

L’onda risultante ha per equazione: +

=

= + + +

3 6

+ + +

= 3 6

E sostituendo i valori : = 3,5 2,0 + + 4,0 +

3 6

Per costruire il grafico costruiamo una tabella in cui facciamo variare il tempo t da -3 a 3 secondi

∆t=0,2

con un secondi

Poniamo per semplicità 2,0 + = cos #

3

4,0 + = $

3

Gli angoli vanno espressi in radianti e non in gradi.

Possiamo allora costruire una tabella come questa:

α b

cos(a) cos(b)

t y1 y2 y1+y2

-3,00 -4,9528 0,238 0,833365 -11,4764 0,463 1,619 2,452

-2,80 -4,5528 -0,159 -0,55619 -10,6764 -0,314 -1,098 -1,654

-2,60 -4,1528 -0,531 -1,85793 -9,8764 -0,900 -3,149 -5,007

-2,40 -3,7528 -0,819 -2,86634 -9,0764 -0,940 -3,290 -6,156

-2,20 -3,3528 -0,978 -3,42222 -8,2764 -0,410 -1,435 -4,857

-2,00 -2,9528 -0,982 -3,43781 -7,4764 0,369 1,290 -2,147

-1,80 -2,5528 -0,832 -2,91065 -6,6764 0,924 3,233 0,322

-1,60 -2,1528 -0,550 -1,92395 -5,8764 0,918 3,214 1,290

-1,40 -1,7528 -0,181 -0,63351 -5,0764 0,356 1,246 0,613

-1,20 -1,3528 0,216 0,75695 -4,2764 -0,422 -1,478 -0,721

-1,00 -0,9528 0,579 2,027904 -3,4764 -0,944 -3,306 -1,278

-0,80 -0,5528 0,851 2,978697 -2,6764 -0,894 -3,128 -0,149

-0,60 -0,1528 0,988 3,459219 -1,8764 -0,301 -1,053 2,406

-0,40 0,247198 0,970 3,393607 -1,0764 0,474 1,661 5,054

0,798 2,792218 -0,2764 0,962 3,367 6,159

-0,20 0,647198

0,00 1,047198 0,500 1,75 0,523599 0,866 3,031 4,781

0,20 1,447198 0,123 0,431495 1,323599 0,245 0,856 1,288

0,40 1,847198 -0,273 -0,95513 2,123599 -0,525 -1,838 -2,793

0,60 2,247198 -0,626 -2,19097 2,923599 -0,976 -3,417 -5,608

0,80 2,647198 -0,880 -3,0809 3,723599 -0,835 -2,924 -6,005

1,00 3,047198 -0,996 -3,48442 4,523599 -0,188 -0,657 -4,141

1,20 3,447198 -0,954 -3,33783 5,323599 0,574 2,009 -1,329

1,40 3,847198 -0,761 -2,66427 6,123599 0,987 3,456 0,791

1,60 4,247198 -0,449 -1,57008 6,923599 0,802 2,806 1,236

1,80 4,647198 -0,065 -0,22801 7,723599 0,130 0,455 0,227

2,00 5,047198 0,329 1,150059 8,523599 -0,621 -2,172 -1,022

2,20 5,447198 0,670 2,346558 9,323599 -0,995 -3,482 -1,136

2,40 5,847198 0,906 3,172587 10,1236 -0,766 -2,680 0,493

2,60 6,247198 0,999 3,497734 10,9236 -0,072 -0,252 3,246

2,80 6,647198 0,934 3,270666 11,7236 0,665 2,329 5,600

3,00 7,047198 0,722 2,527231 12,5236 0,999 3,497 6,024

Sempre con Excel la funzione “inserisci grafico a dispersione” ci aiuta nel disegno!

Nel primo grafico:

- in blu è rappresentata y

1

in arancio y

- 2

Nel secondo grafico c’è la funzione somma rappresentata per t che va -3 a +3

Nel terzo solo i valori positivi del tempo cioè da 0 a 3.

Grafico delle due onde al variare del tempo: y (t) e di y (t)

1 2

y t

dell’onda ottenuta dalla sovrapposizione delle due onde nello stesso intervallo da -

Grafico

3 a +3 y t