Sistemi e modelli (Esercizi Svolti)

Appello 1

1. x₁: popolazione in A

   x₂: popolazione in B

   x₃: popolazione in C

   Regole:

   • In A natalità pari ad h x₄, flussi uscenti verso B e C hx₄

   • In B flusso dall'esterno hu, flusso da regione C 2hx₃, flusso uscente verso C hx₂

   Uscita sistema rappresentata da x₃

2. Modello a tempo continuo dinamica popolazione

   • A: x₁(t) = h x₄(t) - 2h x₄(t) - h x₂(t)
   • B: x₂(t) = h x₄(t) + h u (t) + 2h x₃(t) - h x₂(t)
   • C: x₃(t) = h x₄(t) - 2h x₃(t) + h x₂(t)

   y (t) = x₃(t)

   [x₁̇] = [-h 0 0] [x₁] + [0 ]u [x₂̇] = [ h -h 2h] [x₂] + [h 0]u [x₃̇] = [ h h -2h] [x₃] + []

   y = [0 0 1] [x₁ x₂ x₃]^T

   J = 0

3. y(t) con ingresso costante U₀ = 6 e stato iniziale x(0) = [0 1 1]^T

   Y(s) = H (sI-F)^-1 x(0) + H (sI-F)^-1 G U(s) = H 2dJ (sI-F)x(0) + H 2dJ (sI-F)G•6→ [G] = 6 = det(sI-F) det(sI-F) 5

   • 1
   1. s + 3h   +   2h
   2. s²

   L^-1[1] L^-1[ L^-1[

   . 1 .   ]       e^-3ht + 2ht .                .

2

3

u(t)

1

2

4

5

6

2

1

5

2

2) Matrici K_i Gr corrispondenti

K₄

K₃

1 0 3 0 0 0

1 3 0 0 0

0 2 0 0

0 0

-7 2 0

1

0 -1

K₂ 0 0 -1

K₂ 1 -1 -2

K₁

G = [-1]

K = [K₄ 0

0 K₂

0 K₃]

^.x = Kx + Gv

b) sottosistemi chiusi e molteplicità di λ=0

sottosistemi chiusi: {1, 2, 3}, {5, 6}

chiusi minimali: {1, 2, 3}, {5, 6}

molteplicità di λ = 0 e 2

(ho 2 chiusi minimali)

c) in assenza di ingresso calcolare x({+∞) con x(0) = [5 1 5 1 3 3 ]^T

x₄(+∞) + x₅(+∞) + x₆(+∞) = x₄(0) + x₂(0) + x₃(0) = 11

x₁(+∞) = 3x₁, x₂(+∞) = x₁, x₃ = 2x₁,

6 x₁ = 11, x₁ = 11/6

x _{1 0}

sistema instabile ∀ α ∈ ℝ

c) punto equilibrio per α x=0 e per α x≠0

α ≠ 0

F x + G β = 0

• X₁ X₂ + β = 0
• X₂ = 0
• 4 X₃ = 0
• 5 X₃ + 1 X₄ = 0

X_eq = ^{| -β/k | | 0 | | 0 | | 0 |}   (un solo punto di equilibrio)

α = 0

• X₂ + β = 0
• 4 X₃ = 0
• 5 X₃ + 4 X₄ = 0

• X₂ = -β
• X₃ = 0
• X₄ = 0

H = [ 1 1 1 ]

y(t+1) = H x(t+1) = H F x(t)

H F = [ 1 1 1 ] _{(4/5) (4/5) (4/5) (3/5) (3/5) (3/5) 0 0 0 0 0 0}

= [ 1 1 1 ] = H

H F x(t) = H x(t) = y(t)

y(t+1) = y(t)

ẋ₁(t) = -(a+b) x₁(t) + u(t)

ẋ₂(t) = -b x₁(t) - c x₂(t)

y = x₂(t)

x₁(0) = 0, x₂(0) = 0

u(t) = δ(t)

Identificabilità e priori

• sX₁(s) = -(a+b)X₁(s) + 1
• sX₂(s) = bX₁(s) - cX₂(s)
• Y(s) = X₂(s)

X₁(s) = ¹/_(a+b+s)

X₂(s) = ^b/_(a+b+s)(s+c)

Y(s) = X₂(s) = ^b/_{s² + s(a+b+c) + (ac+bc)}

^{b = β̂₁}

^{a+c = x̂₂ - β̂₁}

^{c (a+β̂₁) = x̂₁}

^{b = β̂₁}

^{a = x̂₂ - β̂₁ - c}

^{c (x̂₂ - c) = x̂₁}

^{b = β̂₁}

^{a = x̂₂ - β̂₁ - c}

^{c2 - x̂₂c + x̂₁ = 0}

2 soluzioni per c e quindi per a

sistema localmente identificabile