Sistemi di disequazioni di secondo grado di tipo intere e frazionarie

Complementi di algebra

Sistemi di disequazioni miste

{ ^x⁄₆ > ^5x-8⁄_3x 10 > x(x + 3) { ^{x - 3}⁄₅ (8 - x) < 017x² - 8x + 1 > 0

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^x⁄₆ > ^5x-8⁄_3x ^x-3⁄₅ (8-x) < 017x² - 8x + 1 > 0

Risolvi il sistema

^x⁄₆ > ^{5x − 8}⁄_3x10 > x(x + 3)

Risolvìamo separatamente le due disequazioni del sistema.

Prima disequazione

^x⁄₆ > ^{5x − 8}⁄_3x  →  ^{x² − 10x − 16}⁄_6x > 0

Studiamo il segno della frazione e compiliamo il quadro dei segni. Chiamiamo N il numeratore e D il denominatore della frazione.

N > 0  →  x² − 10x + 16 > 0

Risolvìamo l'equazione associata: x² − 10x + 16 = 0  →  Δ ⁄ 4 = (−5)² − 16 = 9 > 0;   x = 5 ± √9  →  x₁ = 2,   x₂ = 8.

Il trinomio è positivo per valori esterni all'intervallo delle radici, quindi N > 0 per x < 2 ∨ x > 8.

D > 0  →  6x > 0  →  x > 0

La disequazione fratta è verificata se ^N⁄_D > 0, quindi le soluzioni sono: 0 < x < 2 ∨ x > 8.

Seconda disequazione

10 > x(x + 3) → 10 > x² + 3x → x² + 3x − 10 < 0

Risolviamo l’equazione associata: x² + 3x − 10 = 0 → Δ = 3² − 4.(-10) = 49 > 0; x = ^{-3 ± 7}/₂ → x₁ = -5, x₂ = 2.

Il trinomio è negativo per valori interni all’intervallo delle radici, quindi le soluzioni sono: -5 < x < 2.

Compiliamo lo schema grafico per determinare la regione in cui le disequazioni del sistema sono entrambe verificate.

Le soluzioni del sistema sono: 0 < x < 2.

Risolvi il sistema

{^{x − 3}/₅ (8 − x) < 017x² − 8x + 1 > 0

Risolviamo separatamente le due disequazioni del sistema.

Prima disequazione

^{x − 3}/₅ . (8 − x) < 0 → 1/5 (x − 3)(x − 8) > 0

Studiamo il segno del prodotto e compiliamo il quadro dei segni.