Disequazioni intere e frazionari, esercizi svolti

Complementi di Algebra

Disequazioni

Esercizi svolti

• Disequazioni di secondo grado intere
• Disequazione fratta

3x² - ¹/₂ < x < x - 1

(x - 2)(x - 3) > 13

- ^{x - 3}/_{4x² - 3x - 1} ≤ 0

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Disequazioni

Esercizi svolti

• Disequazioni di secondo grado intere
• Disequazione fratta

3x² - ¹/₂ < x < x - 1

(x - 2)(x - 3) > 13

^{-x - 3}/_{4x² - 3x - 1} ≤ 0

Risolvere la disequazione:

3x² - ¹/₂ x < x - 1

[impossibile]

→ 6x² - x < 2x - 2 → 6x² - 3x + 2 < 0

→ 6x² - 3x + 2 < 0

Risolviamo l’equazione associata, calcolando il delta:

6x² - 3x + 2 = 0 → Δ = (-3)² - 4 . 6 . 2 = -39

essendo negativo non ci sono radici reali

Il trinomio è sempre positivo, quindi la disequazione non è mai verificata

Risolvere la disequazione:

(x - 2)(x - 3) > 13

Portiamo in forma normale:

(x - 2)(x - 3) > 13 → x² - 3x - 2x + 6 > 13

→ x² - 5x - 7 > 0

Risolviamo l'equazione associata:

x² - 5x - 7 = 0 → Δ = (-5)² - 4·(-7) = 53 > 0 .

Le soluzioni sono dunque:

x = ^{5 ± √53}⁄₂, x₁ = ^{5 - √53}⁄₂, x₂ = ^{5 + √53}⁄₂.

In questo caso le soluzioni sono reali e distinte, la parabola interseca l'asse delle ascisse, la sua concavità è rivolta verso l'alto.

Il trinomio è positivo per valori esterni:

x \< ^{5 - √53}⁄₂ ∇ x \> ^{5 + √53}⁄₂

Risolvere la disequazione fratta

^{- x - 3}⁄_{4x² - 3x - 1} ≤ 0

Studiamo il segno della frazione e compiliamo il quadro dei segni. Indichiamo con N il numeratore e D il denominatore della frazione.

N ≥ 0 → - x - 3 ≥ 0 → x ≤ -3

D > 0 → 4x² - 3x - 1 > 0

Risolviamo l'equazione associata:

4x² - 3x - 1 = 0 → Δ = (-3)² - 4·4·(-1) = 25 > 0; x = ^{3 ± √25}⁄₈ → x₁ = ^-1⁄₄, x₂ = 1 .

Il trinomio è positivo per valori esterni all'intervallo delle radici, quindi D > 0 per x \< ^-1⁄₄ ∇ x \> 1 .