Serie numeriche, esercizi svolti sulla convergenza e sulla divergenza

Analisi 2

Esercizi svolti

Serie Numeriche

• Studiare la convergenza
• Serie divergente positivamente
• Serie indeterminata

Analisi 2

Esercizi svolti

Serie Numeriche

• Studiare la convergenza
• Serie divergente positivamente
• Serie indeterminata

Studiare la convergenza della serie:

\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3^n}.\]

Consideriamo \[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3^n}.\]

Le sue ridotte sono

• \[s_1=\frac{1}{3},\ s_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9},\ s_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}=\frac{13}{27},\ldots\]
• \[s_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\ldots+\frac{1}{3^n}.\]

Osserviamo che la ridotta n-esima \(s_n\) è la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione \(\frac{1}{3}\) e primo termine \(\frac{1}{3}\).

Dunque, applicando la formula

\[s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q},\] abbiamo:

\[s_n=\frac{1}{3}\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{2}{3}}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right].\]

Calcoliamo \[\lim_{n\rightarrow+\infty}s_n:\]

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right]=\frac{1}{2}\]

La serie \[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3^n}\] converge a \(\frac{1}{2}\).

Esaminiamo \[\sum_{n=1}^{+\infty}2n.\]

Esaminiamo \[\sum_{n=1}^{+\infty}2n.\] I suoi termini sono: 2, 4, 6, …, 2n …

Essi costituiscono la progressione aritmetica dei numeri pari, cioè la progressione di ragione \(d=2\), che ha come primo elemento \(a_1=2\).

Calcoliamo la ridotta n-esima utilizzando la formula della somma dei primi n elementi di una progressione aritmetica:

\[s_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2+2n}{2}n=(n+1)n=n^2+n.\]

Dato che \[\lim_{n\rightarrow+\infty}(n^2+n)=+\infty,\] la serie diverge positivamente e scriviamo:

\[\sum_{n=1}^{+\infty}2n=2+4+6+\ldots+2n+\ldots=+\infty.\]