Serie numeriche, divergenza, somma e serie telescopica

Analisi 2

Esercizi svolti

Serie Numeriche

• Divergenza di una serie
• Somma
• Serie telescopica

Analisi 2

Esercizi svolti

Serie Numeriche

• Divergenza di una serie
• Somma
• Serie telescopica

1

Spiega perché la serie     ^+∞ ∑ _{n = 1} ^4ⁿ ⁄ _{n + 1} è sicuramente divergente.

La serie     ^+∞ ∑ _{n = 1} ^4ⁿ ⁄ _{n + 1} è una serie a termini positivi perché ^4ⁿ ⁄ _{n + 1} > 0, ∀ n ∈ ℕ.

Una serie a termini positivi o è convergente o è divergente positivamente.

Condizione necessaria affinché la serie      ^+∞ ∑ _{n = 1} aₙ converga è che

lim _{n → +∞} aₙ = 0.

Questo vuol dire che se

lim _{n → +∞} aₙ ≠ 0

allora la serie diverge positivamente. Per questo calcoliamo

lim _{n → +∞} ^4ⁿ ⁄ _{n + 1} = +∞.

Poiché non viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza, la serie     ^+∞ ∑ _{n = 1} ^4ⁿ ⁄ _{n + 1}

è sicuramente divergente.

2

Calcola la somma delle serie seguenti.

a.     ^+∞ ∑ _{n = 1} ( ¹ ⁄ ₅ )ⁿ             b.     ^+∞ ∑ _{n = 1} ^sin(nπ) ⁄ _n²

a. Il termine generale della serie è aₙ = ( ¹ ⁄ ₅ )ⁿ, quindi i termini della serie sono quelli della progressione

geometrica con primo termine a₁ = ¹ ⁄ ₅, perché l’indice n parte da 1, e ragione q = ¹ ⁄ ₅. La somma

parziale n-esima è sₙ = ¹ ⁄ ₅ · ^{1 - ( 1 ⁄ ₅ )ⁿ} ⁄ _{1 - ¹ ⁄ 5} = ¹ ⁄ ₄ · [ 1 - ( ¹ ⁄ ₅ )ⁿ ].

    ^+∞ ∑ _{n = 1} ( ¹ ⁄ ₅ )ⁿ = lim _{n → +∞} ¹ ⁄ ₄ · [ 1 - ( ¹ ⁄ ₅ )ⁿ ] = ¹ ⁄ ₄ · 1 = ¹ ⁄ ₄.

b.     ^+∞ ∑ _{n = 1} ^sin(nπ) ⁄ _n² = 0 perché tutti i termini della serie sono nulli, infatti sin(nπ) = 0 ∀ n ∈ ℕ.

3

Dimostra che la serie _n=1^+∞ ∑ ₇/_n(n+1) è telescopica e calcolane la somma

₇/_n − ₇/_n+1 = _{7n + 7 − 7n}/_n(n+1) = ₇/_n(n+1) , quindi la serie è telescopica perché il suo termine generale si può scrivere come differenza fra i termini consecutivi della successione:

a_n= ₇/_n , con n ≥ 1.

L’n-esima somma parziale è

s_n = a₁ − a_n+1 = 7 − ₇/_n+1 = _n=1^+∞ ∑ ₇/_n(n+1) = lim_n→+∞ (7 − ₇/_n+1) = 7.