Serie di funzioni, la serie di Maclaurin ed esercizi svolti

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie di funzioni e serie di potenze

Serie di Maclaurin

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Serie di funzioni e serie di potenze

Serie di Maclaurin

Serie di funzioni e serie di potenze

Scrivi la serie di Maclaurin delle funzione e determina l’intervallo di convergenza

1. \( f(x) = (1 - 3x)^{-1} \)
2. \( f(x) = \cosh(-2x) \)

a. \( f(x) = (1 - 3x)^{-1} = \frac{1}{1 - 3x} = \sum_{n=0}^{+\infty}(3x)^n = \sum_{n=0}^{+\infty}3^n x^n \) infatti \( \frac{1}{1 - 3x} \) corrisponde alla somma della serie geometrica di ragione 3x.

Sappiamo che la serie geometrica converge se

• \( |3x| < 1 \)
• \( 3x < 1 \)
• \( 3x > -1 \)
• \( x < \frac{1}{3} \)
• \( x > -\frac{1}{3} \)

Perciò l’intervallo di convergenza della serie è \( -\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \) . Il raggio di convergenza può essere trovato, in alternativa, con il criterio del rapporto essendo

1. \( \sum_{n=0}^{+\infty} 3^n x^n \)

una serie di potenze; calcoliamo

\( \lim_{{n \to +\infty}} \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3 \).

Il raggio di convergenza vale \( \frac{1}{3} \) e l’intervallo di convergenza è \( -\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \) .

b. Applichiamo lo sviluppo di Maclaurin del coseno iperbolico di argomento (-2x) :

1. \( f(x) = \cosh(-2x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-2)^{2n}}{(2n)!} \cdot x^{2n} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{4^n}{(2n)!} \cdot x^{2n} \)

Ponendo \( X = x^2 \) si ottiene la serie di potenze

1. \( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{4^n X^n}{(2n)!} \)

Poiché

\( \lim_{n \to +\infty} \left[ \frac{4^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{4^n} \right] = 0 \),

la serie converge per ogni \( X \in \mathbb{R} \) , quindi per ogni \( x \in \mathbb{R} \) l’intervallo di convergenza è \( \mathbb{R} \) .

Esercizio 2

Determina la somma della serie    ^+∞ Σ 1/n cosⁿπ/2_{n = 1}

   ^+∞ Σ 1/n cosⁿπ/2 =   ^+∞ Σ 1/n (cosπ/2)ⁿ =    ^+∞ Σ 1/n (0)ⁿ =    ^+∞ Σ 0/n = 0. _{n = 1                   n = 1                   n = 1                  n = 1}

La somma vale zero, essendo una somma infinita di termini nulli.

Esercizio 3

Calcola il seguente limite.lim _x→0 ^{∛(1 + 2x) - 1}/_{1 - e^sinx}

Calcolando il limite assegnato, troviamo la forma indeterminata 0/0.

Usiamo gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni note per risolvere il limite; per il numeratore usiamo:

• (1 + x)^α = ^+∞ Σ (α/n) xⁿ = 1 + αx + r₂(x), con x ∈ ] - 1; 1]
_{n = 0}

dove il resto r₂(x) è tale che lim _x→0 r₂(x)/x = 0.Nel nostro caso abbiamo:

∛1 + 2x = (1 + 2x)^1/3 = ^+∞ Σ (1/3/n) (2x)ⁿ = 1 + 1/3 ⋅ 2x + r₂(x) = _{n = 0}

= 1 + 2/3 x + r₂(x) con lim _x→0 r₂(x)/x = 0.Per il denominatore usiamo gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni e^x e sin x:

e^x = ^+∞ Σ xⁿ/n! = 1 + x + s₂(x)      con lim _x→0 s₂(x)/x = 0, ∀x ∈ R;_{n = 0}

sin x = ^+∞ Σ (-1)ⁿ/(2n + 1)! ⋅ x²ⁿ⁺¹ = x + t₂(x) con lim _x→0 t₂(x)/x = 0, ∀x ∈ R.

e^{sin x} = ^+∞ Σ (sin x)ⁿ/n! = 1 + sin x + s₂(x) = _{n = 0}

= 1 + x + t₂(x) + s₂(x).