Analisi 2
Appunti ed esercizi svolti
Serie di funzioni e serie di potenze
Serie di Maclaurin
- Limiti con gli sviluppi in serie
- Stabilire se una funzione ha punti stazionari
Analisi 2
Appunti ed esercizi svolti
Serie di funzioni e serie di potenze
Serie di Maclaurin
- Limiti con gli sviluppi in serie
- Stabilire se una funzione ha punti stazionari
Esercizio 1
Calcola il seguente limite.
limx→0 2−x2/2x tan x
Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0.
Consideriamo tan x = sin x/cos x e scriviamo gli sviluppi di Maclaurin di seno e coseno:
sin x = ∑n=0∞ (−1)n/(2n+1)! x2n+1 = x + r2(x) con limx→0 r2(x)/x = 0, ∀ x ∈ R;
cos x = ∑n=0∞ (−1)n/(2n)! x2n = 1 − x2/2 + r3(x) con limx→0 r3(x)/x2 = 0, ∀ x ∈ R.
Ora sostituiamo gli sviluppi nel limite e procediamo:
limx→0 (2−x2/2x · tan x) = limx→0 (2−x2/2x · sin x/cos x) =
= limx→0 (2−x2/2x · x + r2(x)1 − x2/2 + r3(x)) = limx→0 (2x + 2r2(x) − x3 − x2r2(x)2x − x3 + 2x2r3(x)) =
= limx→0 (2 + 2r2(x)/x − x2 − x2r2(x)/x2 − x2 + 2x2r3(x)) = 2/2 = 1,
dove sono state usate le relazioni:
limx→0 x2 · r2(x)/x = 0 e limx→0 x2 · r3(x)/x2 = 0
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