Serie di funzioni, integrali con gli sviluppi in serie

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie di funzioni e serie di potenze

Serie di Maclaurin

• Integrali con gli sviluppi in serie

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie di funzioni e serie di potenze

Serie di Maclaurin

• Integrali con gli sviluppi in serie

Data la funzione seguente:

1. Dimostra che ∀x ∈ ]-1; 1[ l’integrale \(\int_0^x f(t) \, dt\) è convergente.

2. Verifica che la funzione F(x) = \(\int_0^x f(t) \, dt\) ammette il seguente sviluppo in serie di potenze:

   \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-2) \cdot x^{2n}}{(2n)^2}, \, \forall x \in ]-1; 1[.\)

3. Dimostra che l’integrale \(\int_0^1 f(x) \, dx\) è finito; sapendo che il suo valore è \(-\frac{\pi^2}{12}\), stima l’errore commesso arrestando la serie al quinto termine.

a. Iniziamo scrivendo la serie di potenze associata alla funzione \( f(x) \) utilizzando lo sviluppo della funzione \(\ln(1 - x^2)\):

Studiamo ora la convergenza di questa serie; ∀n ∈ N vale:

Poiché la serie \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^{2n}\) converge uniformemente in ogni intervallo \([a; b]\) contenuto in \]-1; 1[, la serie \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+1} \cdot x^{2n+1}\), per il teorema del confronto, converge assolutamente e quindi converge.

Perciò, nel calcolare \(\int_0^x f(t) \, dt\) possiamo scambiare il simbolo di sommatoria con il simbolo di integrale.

Dunque abbiamo:

\(\int_0^x f(t) \, dt = \int_0^x \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{n+1} \, dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^x \frac{x^{2n+1}}{n+1} \, dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \bigg[\frac{x^{2n+1} \cdot t}{n+1} \bigg]_0^x - \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^x \frac{1}{n+1} \cdot \frac{x^{2n} \cdot t^2}{2}\bigg|_0^x dt = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{2n} - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n} \cdot x^{2n}.

Studiamo ora la convergenza di questa ultima serie: ∀x ∈ ]-1; 1[ vale:

Il termine \(\frac{1}{2n^2}\) è il termine della serie armonica generalizzata con esponente uguale a 2, che è una serie convergente. Perciò, per il criterio di Weierstrass possiamo dedurre che la serie di funzioni \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n^2} \cdot x^{2n+1}\) è convergente per x ∈ ]-1; 1[.

Questo dimostra che, ∀x ∈ ]-1; 1[, l’integrale \(\int_0^x f(t) \, dt\) è convergente.