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TESTO ESERCIZIO:
Per la trave inflessa della figura, di sezione e materiale costanti (E,I) determinare la linea elastica v(z); infine disegnare l'andamento della linea elastica stessa.
La struttura è la seguente:
l=0 u=2
1) LINEA ELASTICA:
Per risolvere la trave, posso contare su:
-
EQUAZ INDEFINITE DI EQUILIBRIO:
dM/dz = T(z)
dT/dz = -q(z)
-
EQUAZIONI COSTITUTIVE:
X = M(z) / E5
-
EQUAZ DI CONGRUENZA:
X = dφ/dz ; dv/dz = -φ
Ovvero: X = -d2v/dz2;
M/E5 = -d2v/dz
dM/dz = -E5 v''' = T(z)
dT/dz = E5 vIV = _ q(z)
2D MONA:
- Troviamo la struttura principale equivalente:
X1
- Alla trave reale noni associata una trave ausuliaria ottenuta tramite i
COROLLARI DI MONA:
ψ = -T*
ν* = M*
Ξ = M/EI = dψ/dz = -dT*/dz
M/EI = -q*(z)
E risolviamola come se X1 fosse noto:
X1
M(z)
X1 - q0 z3/6l
La trave ausiliaria sara 1 volta labile.
Puo traslare orizzontalmente? No: verticalmente:
Q* = O = ∫0L X1 - q0 z3/6l
= 0L X1S - q0 l3/24
STUDIO DI FUNZIONE
4) Prendiamo v'(z) e vediamo dove si annulla => lì c’è tg orizzontale.
5) Dove v'(z) > 0 crescente
5) Dove v'(z) < 0 decrescente
6) Prendiamo v''(z) e vediamo dove si annulla: lì c’è un flesso.
*FINE*
* N2 ( ℓ2 ) = 1⁄e5 ( 9l4⁄384 - 9l4⁄96 ) 9l4 - 11⁄48 9l4 + 9l4⁄2 = 1-4+192-88⁄384 = 101⁄384 9l4
~FINE~
CONC.
-FINE-
Travie Ausiliarie:
-
N°(O)1 ≠ 0
N°(O)2 = 0
=> M ≠ 0
T = 0
-
N°s = N°o = 0
ϕs = ϕo ≠ 0
Ms = Mo = 0
Ts = To ≠ 0
-
N°(O)1 = 0
N°(O)2 ≠ 0
=> M = 0
T ≠ 0
-
Ms = Mo = 0
Ts = To
N°s = N°o => Ms = Mo
ϕs ≠ ϕo
Però era un vincolo cedevole!
1)
IL METODO DI MOHR PERMETTE DI TROVARE:
- v(z) E φ(z)
- Rv NELLA TRAVE IPERSTATICA
SI APPLICA ALLA TRAVE INFLESSA υ = 0 → GA = ∞ w = 0 SI ESTENDE ORIZZ.
2)
RISOLVIAMO LA STRUTTURA:
PL / 2 P / 2 L (T(z)) - PL / 2 + P / 2 Lz L / 0
DA DX:
PL³/2E5 + PL³/6E5 = PL³/3·6 + PL³/6 = 2PL³/3E5
DA SX:
Z PL²/2E5 + PL²/4E5 (Z·L/3) - 11 PL²/12 E5 (Z·L)
Z = L PL³/2E5 + 2PL³/3·4E5/2 - PL³/E5 (3 + 1/6) = PL³·2/E5·3
Z = 2L PL³/E5 + PL³/4E5 (5/3)- 11PL³/12E5
12 + 5 - 11/12 PL³/E5 = PL³/2E5
-FINE-
z = ex + ey / 2
+ e / 6
3 - 1 / 3 = 1 / 3 4 / 3
3 + 1 / 6 = 4 / 6
e 3 / 2 = e
2 z'' = q0 z2
6
Δ = e2
6
z = (e + e / √5) / 2 e (-√3 + 1)
2√3 (
√3 + 1)
- 3.46
0.211e Δ = e2
6
Determinaz. delle reaz. vincolari:
- ( MA
- VA VA
T(0) = -NIII E5 = -E5
q0 e 2 = VA . qz | = VA > 0
T(e) = -NIII E5 = -E5 (q0 e
E5 E5
2E5 -)
- VA + qz = -VA > 0
- ℓ2 6 + 2ℓ z - z2 = 0
z = 0.211ℓ
Per ℓ2
→ ℓ2/2 → 90 ℓ4/384 - 90 ℓ4/96 + 90 ℓ4/96 + 90 ℓ4/48 - 90 ℓ4/384
= 90 ℓ4 9/ 384 = 3 /128 90 ℓ4
Verifica:
90 ℓ2 z2 /24 - 90 ℓ z3 /12 + 90 ℓ z4 /24
= - 90 ℓ4/ 96 - 90 ℓ4/ 96 + 1/384 90 ℓ2 + 90 ℓ2 + 90 ℓ2 - 8 + 1 90ℓ2
Z
-b + √∆.
2a
e
4
e
12
Z₁ e
2
Z₂ e
2
5) σv = 0
9₀ Z² 9₀L
2E5 E5²
9₀ e²
E5 12
Z² Z e e²
2 2 12
√∆.
e² e
4 ±.
e 1 e²
2 12
e² e
4 6
3. e
12
CONCL.
REAZ VINCOLARI
Va d³v (O) E5 q e
2
Mr d²v (O) E5 9₀ e²
12
-FINE-
ML
12E5 (- 4L + L) = - 3
8
ML2 = - ML2
8.12 E5 32
- L2
- 0 Mz = MZ3
4E5L 12E5L
Z = 0 →齊 Z = L →
ML2 - 12E5
Tratto Intermedio:
- VaZ + Q1(Z - 2/L3) 2L L
-
- ML Z + ML(Z -2L 3)
12E5 4E5
TESTO ESERCIZIO:
Per la trave inflessa in figura determinare l'inflessione v(x) con il metodo della linea elastica. Indicare il valore massimo di v(x) e la sezione dove questo si verifica. Ipottizare p = qL
CONCL.
48
FINE.
9e4
4E5
TESTO ESERCIZIO:
Risolvere la trave iperstatica rappresentata in figura utilizzando il teorema di Mohr. Ancora con il teorema di Mohr determinare il massimo valore dell'abbassamento v(z) (linea elastica) della stessa trave.
CONCL:
Fe3 / 8 + Fe / 4 * z = Fez / 8
z = L =>
- FINE -
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