Scelta intertemporale

Equazione di Slutsky con reddito da dotazione applicato alla scelta intertemporale

M. A. Miceli - Canale (L-Pa)

Esercizio:

α log c +(1 - α) log c ; α = 1/2; dotazioneParametri: funzione di utilità: u (x)

Caso 1:

ω = (10, 1) , prezzi p = (1, 1) , r = 0.10, π = 0.0 = 0.05

Variazione dei parametri: π

Problema A:

max u (c , c ) = c c1 2 1 2x ,x1 2(1 + π) (1 + π)c ω

s.a p c + p = p ω + p1 1 1 2 1 1 1 21+ r 1+ r

Chiamiamo m il valore della dotazione (1 + π) ωω + pm ≡ p1 1 1 21+ r(1 + 0) · 1 = 10.9= 1 · 10 + 1 + 0.10

Dagli appunti della lezione 11+ π =1+ r 1+ ρ

da cui 1+ r1+ ρ = 1+ π

da cui (1 + π) (1 + ρ) = (1 + r)

da cui 1 + π + ρ + ρπ = 1 + r

Considerando che il prodotto di due numeri vicini a zero è un numero negligibile: ρπ ≈ 0

ρ ≈ r - π

Scriviamo quindi il vincolo di bilancio in termini di tasso

d’interesse reale.1 1c ωc + p = p ω + pp1 1 1 2 1 1 1 21+ ρ 1+ ρPosso eliminare p1 1 1c ωc + = ω +1 2 1 21+ ρ 1+ ρInizialmente π = 0. Ricalcoliamo 1 = 10.9m = 10 + 1 + 0.1V B_A : c = m (1 + ρ) − (1 + ρ) c = 10.9 · 1.1 − 1.1 · c2 1 11121086420 2 4 6 8 10½ m 1A = α = 10.9 = 5.45c1 1 2A : m 12A = (1 − α) = 10.9 (1 + 0.1) = 5.99c2 1/(1+ρ)In seguito alla variazione dei prezzi abbiamo la scelta finale D.Problema D 1/2 1/2max u (c , c ) = c c1 2 1 2x ,x1 2(1 + π) (1 + π)c ωs.a p c + p = p ω + p1 1 1 2 1 1 1 21+ r 1+ rIn questo caso 1 1c + c = ω + ω1 2 1 20 01+ ρ 1 + ρ00Chiamiamo m il valore della dotazione 100m ≡ ω + ω1 201 + ρ1 · 1 = 10.95= 10 + 1 + 0.05Disegno VB finale (caso D) (nel grafico il grafico più vicino all’origine in grassetto).00 0m p1= − x = 10.95 (1 + 0.05) − (1 + 0.05) cV

B_D: c2 1 10 0p p2 2121086420 2 4 6 8 10⎧ ³ ´ ³ ´1 1⎪ ω ω+ ω + ω⎨ 1 2 1 20 0D 1+ρ 1+ρ= α = α =x1 p 1³ ´1D : ´³1⎪ ω + ω⎩ 1 20 1D 01+ρ (1 + ρ= (1 − α) = (1 − α) ω + ω ) =x 1 22 01+ρp /(1+ρ)2 2

Scomponiamo adesso gli effetti(i) sostituzione = passaggio dal punto A al punto B(ii) reddito ordinario = passaggio dal punto B al punto C(iii) reddito di dotazione = passaggio dal punto C al punto D.

Calcoliamo il punto B per calcolare l’effetto di sostituzione

Problema B 1/2 1/2u (c , c ) = c cmax 1 2 1 2x ,x1 2 0 01 + π 1 + πA Ac cs.a p c + p = p c + p1 1 1 2 1 11 21+ r 1+ r

In questo caso 1 1A Ac + c = c + c1 2 1 20 01 + ρ 1 + ρ0

Chiamiamo m il valore della dotazione in B 10 A A≡ c + cm 1 201 + ρ1 · 5.99 = 11.15= 5.45 + 1 + 0.05

Disegno VB (caso B) (nel grafico il grafico più vicino

all'origine in grassetto).

0 0m p1= - x = 11.15 (1 + 0.05) - (1 + 0.05) cV B_B : c2 1 10 0p p2 2121086420 2 4 6 8 10( 0 0m m 1Bx = α = α = 11.5 = 5.751 p 1 2B : 1 0m 1B 0 0= (1 - α) = (1 - α) (m ) (1 + ρ ) = 11.5 (1.05) = 5.75x2 2p /(1+ρ)2

Calcoliamo il punto C per spezzare l'effetto reddito in "ordinario" e "da dotazione"

Il problema di ottimo considera il reddito pari al valore della dotazione iniziale

Problema C."monetizzata" ai vecchi prezzi. (1 + π) ωω + p = 10.9m = p1 1 1 21+ r 1/2 1/2u (c , c ) = c cmax 1 2 1 2x ,x1 2 01 + π cs.a p c + p = m1 1 1 21+ r3