Riassunto esercizi Statistica, libro consigliato "Probabilità e Statistica", Ross

Esercizio 28 pagina 263

In una prova di matematica ho che µ = 517, σ = 120. Trova la prob. approssimata che un campione di 144 studenti abbia un punteggio medio che superi:

• (a) 507
• (b) 517
• (c) 537
• (d) 550

Svolgimento

Il mio campione è di 144 studenti, n è grande posso dire che

P( > 507) = P( ) =

= P(Z > -1) = (1) = 0.8413 P = 84%, gli studenti avranno una media > 507.

Analogamente anche per gli altri.

Esercizio 30 pagina 263

L'uso di vita componente ~ N ( μ = 100 ore, σ = 30 ).

Fondamentalmente, il componente, per il funzionamento di un aggeggio.

Quanti componenti devo avere a disposizione affinché l'aggeggio funzioni per 2000 ore con prob = 95%?

Svolgimento

Questo è un problema simile a quello delle patate. Siccome non ho un campione, non devo usare σ/√m.

Il problema mi sta chiedendo:

P(X > 2000) = 95% → P ( X - 100m

P ( Z > 2000 - 100m ) = 95% → 1 - Φ (...) = 0.95 →

→ Φ (...) = 0.05

Se lo scrivo Φ(X) = 0.05

X = -1.64

E' -1.64, poiché io sono a sinistra.

Dunque 2000 - 100m / 30√m = -1.64 → e trovo m.

Esercizio 12 pagina 239

Punteggio esame con μ = 77 e σ = 15².

Ho due classi diverse con 64 e 25 studenti.

1. Quanto vale la prob. del punteggio medio nella classe di 25 sia compresa tra 72 e 82?
2. Per l’altra classe?
3. Quanto vale la prob. che il punteggio medio della classe di 25 superi quello di 64?
4. Supponiamo che i punteggi medi siano 76 e 83. Quale classe è più probabile abbia ottenuto 83?

Svolgimento

Per grandi campioni so che N ~ (μ, σ/√n)

Quindi avrò: P(72 < x̄ < 82) = P( (72-77)/(15/5) < z < (82-77)/(15/5) ) =

=P(-5/3 < z < 5/3) = 2Φ(5/3) - 1 = 2(0.9525) - 1 = 0.9

Per la seconda classe ho:

P( (72-77)/(15/8) < z < (82-77)/(15/8) ) = P( -2.66 < z < +2.66 ) =

= 2Φ(2.66) - 1 = 0.99

Esercizio 14 pagina 260

I circuiti prodotti in un certo impianto sono tutti difettosi con probabilità 0.25.

Se testo un campione di 1000 pezzi, con che probabilità ne trovo 200 di difettosi?

Soluzione

Sono in presenza di una binomiale che posso approssimare ad una Normale:

X ∼ Bin (1000, 0.25) ≈ N (1000 ∗ 0.25 , 0.25 (1 − 0.25) 1000) =

= N (250 , 187.5)

X = pezzi difettosi

P (X < 199.5) = P ​ ( Z > ​ _{​199.5 − 250} ^​​/​^​ √ ​ ^187.5 ) = P ( Z < −3.69 ) =

= 1 − [ 1 − Φ ( 3.69 ) ] = Φ ( 3.69) ≈ 1

Esercizio 10 pagina 239

Un produttore di sigarette dichiara che la nicotina nelle sue sigarette ha μ = 2.2 e σ = 0.3.

Ho un campione di 100 sigarette.

Ammettiamodo trovo ​ ​X¯ = 3.1

Se le affermazioni sono vere, quale è la prob. di trovare ​ ​X¯ ≥ 3.1?

Si sa per certo che la varianta e il valore atteso di un dato non truccato sia uguale a:

E(X) = 3.5 → 35

V(X) = 35/12 → 350/12

Nel mio caso effettuo 10 lanci, ergo devo moltiplicare il tutto per 10.

Quindi, per il TLC, ho:

P(29.5 < X < 40.5) = P

^{(29.5 - 35)}/_√(350/12) < X < ^{(40.5 - 35)}/_√(350/12) ≃

≃ 2Φ (1.02) - 2Φ (-1.02) = 2(0.8462) - 1 ≃ 0.69

Esercizio 3 pagina 238

Calcola approssimativamente la probabilità che la somma di 16 variabili aleatorie indipendenti e uniformi su (0,2) sia superiore a 30.

Svolgimento

V(X) = ^(b-a)2/₁₂ = ¹⁶/₁₂ = ⁴/₃

E(X) = ^(b+a)/₂ = ¹⁶/₂ = 8

P(X > 10) = 1 - Φ (2/^√(4/3)) = 0.62