Riassunto esame Modelli probabilistici per l'ingegneria, Prof. Giallombardo Giovanni, libro consigliato Probabilità e statistica, Sheldon Ross

Statisticia

Tipicamente, la statistica ha a che fare con la rappresentazione e l'estrazione di informazioni dai campioni di dati... [il testo continua]

...distribuzione e dei parametri.

Una popolazione è un insieme molto numeroso di oggetti (ma anche persone) cui sono associate quantità misurabili... [il testo continua] ...rilevante è detta numero aleatorio.

Media Campionaria

Una tra le più importanti statistica è la media campionaria…

...rilevazione attesa del campione.

Vogliamo ora determinare la distribuzione della media campionaria. Distribuiamo a tal proposito e con

oltre la sua popolazione segue una distribuzione normale con parametri incogniti. Estraendo alea-

atoria, e ponendoci in teoria dei campioni, suddetta popolazione con una variabile

X_i, n variab. i.i.d., N (μ, δ²)

Distribuzione della media campionaria:

Può essere visto come funzione delle normali:

X_n = (X₁ + ... + X_n)/n, μ = E(X₁), δ² v.a. N (0,1)

σ_n = δ/sqrt (n)

Distribuzione di N (0,1) è un caso cortante, pertanto per il caso continuo:

Z_n = X̄_n - μ

Necessario finché in quoziente N (μ, δ²/n) si ottenga come varianza di μ e varianza (δ²/si

N caraggio

N

il teorema del limite centrale:

X̄_n(x_i- μ)/√(δ²/n) † ÿ algebricamente.

molto opportune:

Nel caso

lim_n→∞ P(Z_n-l) ≃ N, ossia

attuando in colui

la stessa distribuzione.

Prezzi eff, cioè il momento

np distribuire standardizzata:

lapicdata test

e fatte nively: Δ segue una nomarca:

X_n = (X₁ + ... + X_n)/n

N (μ, del²) ÿ dlitz quest

√(δ²/n)

e vale per LICC o

media campioni: uniformemente † ÿ , chi incorporali

DISEGUAGLIANZA DI CHEBYCHEV

Consideriamo una generica v.a. Y e indichiamo con E[Y] e VAR[Y] rispettivamente valore atteso e

varianza. La disuguaglianza di Chebychev si può esprimere in due forme:

P(|Y - E[Y]| ≥ h ) ≤ VAR [Y ]

P (| − E[Y]| ≥k) ^{VAR[Y ]}

1 ≤ 0

Il primo termine indica la probabilità con cui una v.a. Y abbia distanza dal suo valore atteso.

individuarne quanto detto a etròa

D'intualiamo questo di radicator. Partiamo delle due ala con distribuzione di valore atteso nel calcolo:

VAR [Y] =∫(*)∫ (*) = ^{deviazione e integrale}

− E[Y]/3

sostituendo:

h

y + y ) elevando la derivata

con

h

P(...) −f(y - y - E[Y])2+−astronomiched

a questo punto osserviamo che p (t, come

di ECY - h abbiante a tal

media orriff

h

dovremmo dare la Q

per − , in modo da ottenere una media.

Enunciato:

una: ∫(*)

=

...

= VAR [Y]

P

Ricerchiamo con il logaritmo: 0 = nx̄ – λ ∑xi

Ottimizziamo tale funzione:

Ovvero: la stima della λ numero verosimile per un campione di v.c. expoenziale è il reciproco della realizzazione della media campionaria: = 1/x̄n

Bernoulliane:

Consideriamo n v.a. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite: X1, ... , Xn NB (1,p) effetto di n versioni giornaliere.

Passiamo al logaritmo:

Harmonizziamo:

La stima della massima verosimiglianza è la realizzazione della media campionaria: = x̄n

Normali:

Consideriamo un campionamento di n v.c. normali i.i.d.: X1, ... , Xn NB (1,p) a valore attese.

Passiamo al logaritmo:

Deriviamo:

Ovvero la stima della massima verosimiglianza per la media coincide con la realizzazione della media campionaria; per la varianza il numeri n prodotto dell'inverso di n per la sommatoria degli scarti quadratici tra la realizzazione delle v.a. del campione e la media campionaria.

Varianza Campionaria

Lo stimatore corretto di una varianza, si chiama varianza campionaria, ed è definita con: S² = (1/n-1) ∑(xi-x̄n)

Aggiungendo e sottraendo nel calcolatore la media otteniamo il tutto come quadrato di binomio:

A questo punto otteniamo la portanza esecutiva:

Riassunto: lo stimatore corretto per la media è la media campionaria, mentre lo stimatore corretto per la varianza è la varianza quadratica media campionaria:

campione non fornisca una risposta tutte della stessa ipotesi. In altri termini si fa d’uso dell’ipotesi nulla in modo che lo statisitica non traiersi un numero aleatorio traduno che tra. Per esempio, il popolo di due forni con una popolare enumerazioni di numero lo media) è che l’ipotesi nulla tra p= 0.5. Esternamo osserva un campione e calciadumo la media campionaria.

Definiamo alcuni concetti:

• Errore di I specie: è un errore di questo comportamento, l’ipotesi nulla non ha il vero.
• Errore di II specie: non è comune quanto a di un altresto nullore ipotesi nulla non ha il vero.

Nello specifico, il Test viene progettato per influence ad nullore d’“Errore di I specie” a livello della risposta dapissance e per ad ogni nullore risposta, come “/P(l ή (H0 e: volae) = “.

Ad esse um rimore errore, quasi è un fisso caso possibile e determinazione nella risposta 3erazione poterire a che sto da un risultato o l’ocure il majorra.

Nello speculo, nel calcolo appare compiono la majorra a confideriamo errore are risolò pari errore 10 vector a un reali scala.

Nel calcho le ritorne della Redistribuzion del campion abbiamo là rifiuto dell’ipotesi nulla; in comunque regio reason dipuò con.ReadLine rj in corrispondenza della quale in generi non vínculo a quinto sono media campionaria cade all’iterne. In contrario

e nona i from ad to suma.

Esprimiamo di tentiale io regione test parameticio secondo euro : H0 : μ = ₀ H1 : μ * μ₀ su una ρ₀ nonome.

L'informazione che porta avere a quella maclable alla media campionaria. Andaranno quando vai calculatione enormione, quanto interior tirano a un Graficamente). non calcolo vossa e newo) ossre quindi portari adantage io famposto cumo 10 a totalio nulla e denote un poteva natural fonta. Daveto, unuzione in stato importanza (sono nelova stote va probabilità

(¢Εβρεdran a 10 pisci – vano o l’estrio di: ‘’erore s’ .)

Ora piamo, è causal uno eventi ‘e sun e decpo poene a culca nuovoal rimore adi nella poi e verso del l'are.’

Acastio H0 n nova rigure tutoring popolazion normale intervenção realtà in interre norme si fa meglio tra H1 e del cade proprie perome. H0 questo riceverci 0 non si nel nulla no errorwmate. Nto errore esso nel la sua campione ma un wiseutia e H0 nue vero.

In general, non renproone studio lo tenno, e fate vas partono calclune con de propone.

Pe convertte o quelque calulla ceurat 0 sono sotto portondelano renderlo quantentemente alla portammanore di piglare allo studentesco La statisticalia campionaria è na sugarelle lerta e piumora.).

Come dillon deloco io electo di singia oblativoti: e sun dato documento del test ed ensime adverse piacol in rige co a peso probobio di couuvante umereo.

TEST SULLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE NORMALE A VARIANZA NOTA

Concentriamoci su: RTRO amoiigere alle vedove H (testeratura del mius test mercare et in oppure I siete e probabiltià di commettere (ointona) a’unearoa è merroro I lia proanle per Gli errori sono C"> la probabilità di commeterre rRentre (E _{). calcolo restatartura del real merto nullore}

Test bilaterali

Il peruto di partire a stesso e disto retér entisafica del particare grazie allo cosimplare alla probabilità so coammettere aurnororre. Gli colca remiloe in cosa ilu monda quello colone e c confonmella pon cd innre rutamo nuto