Riassunto esame Modelli probabilistici per l'ingegneria, Prof. Giallombardo Giovanni, libro consigliato Probabilità e statistica, Sheldon Ross

Analisi Probabilistica

Un esperimento aleatorio è un fenomeno il cui risultato non è prevedibile con certezza, uno di cui è possibile descrivere i possibili esiti, chiamato risultato. L'insieme di tutti gli esiti possibili (S) è chiamato spazio dei risultati. Fra di essi ne può essere individuato uno che si suppone particolare dopo che si è attuazione dello spazio dei risultati. Inoltre si viene a definire, nel momento che ciò accade, un dato proprio esito, allora si chiama evento elementare o risultato di un esperimento. Individuazione dei risultati particolari attraverso una mappatura: gli insiemi dei tutti i sottoinsiemi di S.

• Esito: è detto osservazione del nostro esperimento essendo e_i ∈ S se e solo se e_i ∈ S

NB: dato E ⊆ S, vuol dire che e_i ∈ E. e_k ∈ S ma può non essere in E.

Proprietà

• Coordinazione e ordine di un numero.
• E = S ∩ {e₁,e₂}, e_i ∈ E e si avrà E = S ∩ {e₁, e₂, e₃} = {e₁, e₂, e₃} ]

Probabilità

Il concetto di probabilità di un evento, quando si riferisce a un esperimento, è soggetto a diverse interpretazioni.

In generale, la probabilità misura la possibilità relativa di un evento di interesse in relazione tra tutti gli eventi indicati come possibili.

1. Definizione classica: utilizza il metodo dei giochi ed è indicate al rapporto tra i casi favorevoli ai casi possibili.
2. Definizione frequentista: vede la probabilità come una proprietà dell'atto e si basa sulle frequenze relative. Non possiamo determinare prima se un risultato avrà specifiche caratteristiche positive, sviluppo delle opinioni o teorie personali della mente umana e considera solamente i dati oggettivamente osservabili e misurabili senza l'aiuto dell'intuito.

NB: intendiamo operare sia sulla rappresentazione numerica che sulla statistica.

• Esprimiamo una funzione di probabilità a singolo valore della probabilità. La probabilità è definita come una funzione sui sottoinsiemi di S sull'insieme dei numeri reali per ogni evento: P: ℑ → R

Sinteticamente, le proprietà di base sono le seguenti:

1. Per ogni evento elementare e_i ∈ E si ha P(e_i) ≥ 0
2. P(S) = 1
3. P(A) ≥ 0
4. P(B) =...

• Per ogni coppia di eventi A,B ⊆ S tra cui si siano disgiunti A ∩ B = ∅ si ha: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Il terzetto 〈S,ℑ,P〉 si chiama spazio di probabilità.

Partizione dell'Evento Certo

Consideriamo un evento A⊆S. Dato A*, può scrivere S quindi: S = A ∪ A^*

La 2^a proprietà svolge eventi disgiunti contenuti solamente in una... può avvenire che A* sia non solo parte del doveribile ma di contribuisci alla somma degli elementi di probabilità.

• P(∅) = 0
• P(A*) = 1 - P(A)

Probabilità degli Unioni di Eventi (Non Disgiunti)

Per ogni coppia di eventi A,B ⊆ S tali che A ∩ B ≠ ∅ aventi non disgiunti allora: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Consideriamo più eventi, quindi l'estensione dell'insieme elementare S su un evento generico, già abbiamo osservato P(A) e P(B)

Adoperiamo questo collettivo in eventi disgiunti:

1. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
2. b = (n(A ∪ B) = b(A) + b(B) - b(A ∩ B)

Sottostando nella valore presa precedente: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - γP(A ∩ B)

Spazi dei risultati equiprobabili

Il concetto di spazio dei risultati equiprobabili è strettamente connesso alla definizione classica della probabilità. Infatti, per l'unità µ si pone come assioma dell'operazione degli operatori della probabilità:

Def: {e₁, e₂, ...., eₙ} = approccio ad ogni risultato dello spazio: probabilità P({e}) = P({e₁}) = .... = P({eₙ}) = p

Applicazione si annota:

P(E) = P({e₁, e₂, ...., eₖ}) = P({e₁}) ....) P({eₙ}) = |E| / |S|

Poiché si è posto che in un largo insieme:

P(E) = (n / N) * p = N * p

Produciamo con uso della logica:

E = {e₁ⁿ, e₂ⁿ, ...., eₙⁿ}

Estendiamo questo elenco di risultati in un certo modo causale:

n / N = p ^² = P({e₁} u {e₂} ....)

Mancano quindi:

P(E) = k * N - ƛ(E|S) = |E| / |S|

Ne deriva:

Principio di enumerazione: consiste nella realizzazione di due diversi sperimenti c e d e si produce aver ripetutamente m o n usci differenti. Allora compremutativamente ripetuto m n k Estri divers sì o contemporaneamente eventuali: minisch.

Diagrammi di Venn e algebra degli eventi

Un tipo può rappresentare grafici degli eventi, usuì le possibili le relazione logiche che li legano, racceau intersazone di Venn...

Esempi di operatori sugli eventi. Gli operatori unione, intersezione e complemento identificano leggi de Morgan. Uᵀ = F usE (Eᴺ) ˄ (Eᵁ) = Eᴺ ˄ (Eᴷ) Inoltre il node de est draft: (Uᵀ) =

Elementi di calcolo combinatorio

Per accordo concorrenziale di un insièm: si annuncia a tutte quella regole per cui si rimangano istrutti sui diversi oggetti e quotazione per ordinario e non ordinato combinazioni.

Nota bene: > ! la ripetizione di un oggetto - per combo - :

Permutazioni: di n oggetti differenti = Pⁿ = n! Combinazioni di n oggetti in k oggetti. (versione ordinata):Combinazioni senza ripetizione.

(c) i combinator ha uso di finestra combinatori: in decisa provol posizione esclusiva di p oggetti b o b la pairàVirtuoso: a costi europei, il soggetto circolare e strutturale por ie figure qui comunicazione particolare; k n k_k?> ...

Poichè gli eventi x = i sono tra di loro disgiunti per definizione perciò si chiam:

Si ha che la

Ne consegue che tale funzione di ripartizione è una probabilità aumentata.

2°:

Supponiamo che N sia la scarsa...

Allora:

Allora si vuole che noi procediamo la funzione di ripartizione è unitaria.

3°:

Consideriamo le 2° omog:

Concludiamo che:

Anche perché possiamo calcolare:

4°:

Consideriamo due numeri a, b con a < b. Vogliamo calcolare la probabilità che a < (X < b) partiamo...

Due calcolo:

Modelli di variabili aleatorie discrete

Consideriamo uno speratore aleatorio di^^..

urano:

Variabile aleatoria bernoulliana

Dalla variabile aleatoria bernoulliana...

In (o ((#) è = 0..

Variabili aleatorie indipendenti

Definiamo la cara...

Variabile aleatoria binomiale

La variabile aleatoria...

E(X) = 0.5 * 3 + 0.5 * 3 + 0.5 * 3 + 0.5 * 3 = 1.5

E(X²) = 0.5 * 1 + 0.5 * 1 + 0.5 * 6 + 0.5 * 6 = 3

Definiamo deviazione standard la radice quadrata della varianza.

La covarianza varianza ha le seguenti proprietà:

• Se a, b ≠k (c.c.), allora tra varianza del prodotto dei due v.a. per il numero a è pari al prodotto del quadrato detto numero per la varianza di X: VAR[aX] = a² * VAR[X]
• Se X e Y independent: nel caso in cui varianza (X+Y somma risultato) è la somma delle varianze.

Per dimostrare, parto dalle definizioni:

VAR[X + Y] = E[(X + Y – E[X + Y])²]

= E[(X – E[X] + Y – E[Y])²] = (raggruppiamo i termine in X e Y)

= E[(X – E[X])² + E[(Y – E[Y])²] + 2E[(X – E[X])(Y – E[Y])]=

= VAR[X] + VAR[Y] + 2E[(X – E[X])(Y – E[Y])] =

= VAR[X] + VAR[Y] + 2E[(X – E[X])(Y – E[Y])]

= VAR[X] + VAR[Y]

Quindi riservando le varianze delle v.a. per ogni modello, osserviamo:

• Bernoulliana: VAR[X] = p * q = p(1 – p)
• Binomiale: VAR[X] = n * p(1 – q)
• Geometrica: VAR[X] = 1 – p / p²
• Poisson: VAR[X] = λ

STUDIO PROBLEMI INVERSI

I problemi inversi sono tutti quei problemi per cui, associato tra probabilità, bisogna determinare se esiste la soluzione o al suo esorimato o se mu da parametro che modelli di certe proprietà.

ESEMPIO: Problema dell’overbooking.

Quindi ci sono un area di 100 posti. La compagnia aerea vendra 110 biglietti e vanno i passeggeri : 2; tuttavia facciamo una stima on una probabilità di default 86%.

Si vuole calcolare come così il numero di arrivi ai porti dall’altra parte all’area che garantisca l’eventualità dell’overbooking non superare dei 10%.

• Subito: sono soluzioni: numero valore in k tale da: 1 – P(X ≤ k ) ≤ 0.1
• P(X ≤ k) ≥ 0.9
• P(X ≤ 100) ≈ 0.9966 ≤ 0.9
• P(X ≤ 99) ≈ 0.9966 ≤ 0.9
• P(X ≤ 98) ≈ 0.9
• P(X ≤ 97) ≈ 0.9
• P(X ≤ 96) ≈ 0.9

k = 97

ESEMPIO: Rotteanza dei use cells carattere.

Lancia cell fresz pronuclear: ma a zai cell fresco ha probabilh cit 15%: si ascolta all’operatore: al numeratore di freszatica del desiderio:

• P(X < 3) ≥ 0.99
• P(X < 6) ≥ 0.99
• P(X < 5) ≥ 0.99
• P(X < 4) ≥ 0.9
• P(X < 3) ≥ 0.99
• P(X < 2) ≥ 0.99
• P(X < 1) ≥ 0.9946都9.9
• P(X < 0) ≥ proporzione di quanto se di attrezzo starr su tacleatore

h_f = 4