Relazione Tecnica progetto Sismica

Condensazione Statica Lineare

Il modello Shear-Type è molto semplificato e poco adatto a schematizzare travi che in realtà non sono abbastanza rigide, come le travi a spessore.

Considerando un telaio tridimensionale, spaziale, si hanno 6 spostamenti (3 traslazioni e 3 rotazioni) per ogni nodo.

In definitiva, quindi, volendo costruire la matrice delle rigidezze per il telaio spaziale, si avranno 6 incognite per ogni nodo, per un totale di 6*N spostamenti (con N numero di nodi del telaio tridimensionale).

Per semplificare un po' le cose, consideriamo ogni impalcato.

composto da solai e travi, come un'aplastra rigida, in modo da avere per ogni nodo lo stesso spostamento complessivo (η). In questo modo, ogni telaio piano, avrà 2n+p spostamenti, con n numero di nodi del telaio piano e p numero di piani.

Introducendo l'ipotesi di inestensibilità assiale, considerando il telaio piano i-esimo, il relativo vettore degli spostamenti u, conterrà al suo interno gli spostamenti orizzontali η e le rotazioni φ. Esso avrà quindi dimensione 12.

Le rotazioni φ non sono legate a momenti esterni applicati, per cui queste si possono definire (per i nostri fini) come spostamenti secondari. Gli spostamenti η sono invece considerati come spostamenti principali, in quanto legati direttamente alle forze esterne dalle equazioni di equilibrio dei traversi. Dunque:

[ ] [ ]u F = u p = tppi iu 0s

La matrice delle rigidezze del telaio piano i-esimo è quindi composta da più parti (in base alle assunzioni appena fatte):

[ ]K K = K

pp psi K Ksp ss

Il sistema di equilibrio: =K u pi i i[ ][ ] [ ]K K u F=pp ps p tpK K u 0sp ss sOvvero:{ + =FK u K upp p ps s tp+ =0K u K usp p ss s uGrazie all'omogeneità della seconda equazione, si ricava da essa , e lo si sostituisce nella prima equazione ottenendo: ( )-1-K =FK K K upp ps ss sp p tp uAbbiamo appunto "condensato" la matrice delle rigidezze, grazie alla quale è possibile ricavare p. 68Università della Calabria - Corso di Costruzioni in zona Sismica - A. A. 2016/2017Questa equazione può essere semplificata ulteriormente considerando, come detto in precedenza, l'inestensibilità assiale dei pilastri. In questo modo gli spostamenti verticali si annullano, mentre gli spostamenti trasversali corrispondono ai principali (u =u ), e le rotazioni corrispondono agli spostamenti secondari (u =φ):s ( )-1-K =FK K K utt tφ φ φ φt t t=FK ucond t tCostruiamo quindi le varie matrici

delle rigidezze per ogni telaio piano (3 in direzione x e 3 indirezione y), riempiendo ogni riga con le rigidezze opportune derivanti dall’imposizione dell’i-esimocinematismo. Essendo 3 spostamenti trasversali e 9 rotazioni, ognuna di queste matrici risulterà una12x12.

K :x1K :x2K :x3 69Università della Calabria - Corso di Costruzioni in zona Sismica - A. A. 2016/2017

K :y1K :y2K :y3

Riportiamo, qui di seguito, le matrici condensate:

K K K

X1 (cond) X2 (cond) X3 (cond)

69537930,94 -42364730,08 67856339,5 -41073930,41 69877167,14 -42562114,41

-42364730,08 59016059,58 -41073930,41 57839298,53 -42562114,41 59291605,75

3519896,014 -22120240,27 3039835,922 -21655165,78 3472382,16 -22069972,9

K K K

Y1 (cond) Y2 (cond) Y3 (cond)

- - -

69742155, 42481015, 3469996,2 59443334, 36029730, 5461843,6 69857388, 42548112, 3453639,9

11 91 63 84 43 64 41 91 72

- - - - - -

42481015, 59236478, 22133979, 36029730, 44498375, 16406393, 42548112, 22116761,9

1 88 99 43 48 26 91 59330616 09

-3469996,2 22133979, 18964690, 5461843,6 16406393, 11652497, 3453639,9 22116761, 18957089,63 99 75 64 26 57 72 09 04

Sfruttando le matrici condensate, si ricostruisce la matrice delle rigidezze globale per l’intero telaiospaziale, tenendo presente la sua struttura: 70Università della Calabria - Corso di Costruzioni in zona Sismica - A. A. 2016/2017

[ ]∑ ∑−K 0 K dxi xi yi∑ ∑K= 0 K K dyi yi xi∑ ∑ ∑ ∑2 2− +K d K d K d K dxi yi yi xi yi xi xi yi

Sulla diagonale abbiamo la somma delle rigidezze lungo x, quella lungo y, e il momento d’inerziadelle rigidezze stesse. I restanti termini sono nulli o rappresentano il momento statico delle rigidezze.

A questo punto, una volta ottenuta la matrice delle rigidezze, bisogna risolvere il sistema:

( (x)x)=PK u

( (y) y)=PK u (x) (y)

dove e sono i vettori dei carichi così definiti:

P P [ ] [ ]

F 01 0

F 2 0

F 3 F0 1

( (x) y)= =P P F0 2

F0 3

0 0

0 0

Quindi ricaviamo gli spostamenti:

( −1 ( (x)

• −1 (y) y) x)=K =Ku P u PCarichi SPOSTAMENT Carichi SPOSTAMENTPx (N) I (m) Py (N) I (m)74273 0,004783 0 0,000001u u124887 0,008131 0 0,000001118512 0,010702 0 0,0000010 0,000001 74273 0,005258v v0 0,000001 124887 0,0093060 0,000001 118512 0,012464 71
• Università della Calabria - Corso di Costruzioni in zona Sismica - A. A. 2016/20170 -0,000006 0 -0,000023φ φ0 -0,000009 0 -0,0000360 -0,000013 0 -0,000044
• Forze sismiche agenti per sisma in direzione X
• Per sisma in direzione x, considerando le matrici condensate di ciascun telaio e sfruttando i parametridi spostamento ottenuti risolvendo il primo sistema precedentemente trattato, si ricavano le forzelungo x e y, agenti in corrispondenza di ciascun telaio, e da queste i taglianti:
• TELAIO X1 fx1(k Tx1Kx1 ɳx1 (m) N) (kN)-69537930, 42364730, 3519896,0 0,004758 105,194 08 14 669 25,50 4- -42364730, 59016059, 22120240, 0,00809308 58 27 27 40,58 79,63-3519896,0 22120240, 18914015, 0,01064414 27 43 034 39,05 39,05
• TELAIO X2 fx2

Tx2Kx2 ɳx2 (m) (kN) (kN)-67856339, 41073930, 3039835,9 0,004782 104,95 41 22 386 23,12 8- -41073930, 57839298, 21655165, 0,00812941 53 78 651 42,07 81,85-3039835,9 21655165, 18812417, 0,01069922 78 02 976 39,78 39,78

TELAIO X3 fx3 Tx3Kx3 ɳx3 (m) (kN) (kN)-69877167, 42562114, 3472382, 0,004807 107,514 41 16 798 25,64 6- -42562114, 59291605, 22069972 0,00816841 75 ,9 63 42,23 81,91-3472382,1 22069972, 18891505 0,0107596 9 ,69 914 39,68 39,68

TELAIO Y1 fy1 Ty1Ky1 ɳy1 (m) (kN) (kN) 72

Università della Calabria - Corso di Costruzioni in zona Sismica - A. A. 2016/2017-69742155, 42481015, 3469996,2 2,58501E11 91 63 -05 0,33 0,600- -42481015, 59236478, 22133979, 3,95236E91 88 99 -05 -0,10 0,266-3469996,2 22133979, 18964690, 6,0683E-63 99 75 05 0,37 0,366

TELAIO Y2 fy2 Ty2Ky2 ɳy2 (m) (kN) (kN)- -59443334, 36029730, 5461843,6 1,81988E-84 43 64 06 -0,03 -0,033- - -36029730, 44498375, 16406393, 2,92037E-43 48 26 06 0,01 -0,005-5461843,6 16406393, 11652497, -4,5831E-64 26 57 06 -0,02

-0,015TELAIO Y3 fy3 Ty3Ky3 ɳy3 (m) (kN) (kN)- -69857388, 42548112, 3453639,9 2,44076E-41 91 72 05 -0,306 -0,567- - -42548112, 22116761, 3,75685E-91 59330616 09 05 0,089 -0,261- -3453639,9 22116761, 18957089, 5,78616E-72 09 04 05 -0,350 -0,350

Forze sismiche agenti in Direzione Y

Sempre con riferimento alle matrici condensate, agli spostamenti trovati dal secondo sistema, per il sisma in direzione y si ricavano le forze agenti su ciascun telaio, e da queste i taglianti:

TELAIO X1 fx1(k Tx1Kx1 ɳx1 (m) N) (kN)-69537930, 42364730, 3519896,0 -9,97166E-94 08 14 05 -1,08 -2,278- - -42364730, 59016059, 22120240, 0,000153908 58 27 44 -0,68 -1,200- -3519896,0 22120240, 18914015, 0,000189214 27 43 12 -0,52 -0,524

TELAIO X2 73Università della Calabria - Corso di Costruzioni in zona Sismica - A. A. 2016/2017fx2 Tx2Kx2 ɳx2 (m) (kN) (kN)- -67856339, 41073930, 3039835,9 2,72554E-5 41 22 06 -0,02 -0,061- - -41073930, 57839298, 21655165, 4,34487E-41 53 78 06 -0,03 -0,039- -3039835,9 21655165, 18812417,

5,19364E-22 78 02 06 -0,01 -0,012

TELAIO X3 fx3 Tx3Kx3 ɳx3 (m) (kN) (kN)-69877167, 42562114, 3472382, 0,00010114 41 16 193 1,10 2,339-

-42562114, 59291605, 22069972 0,00015541 75 ,9 94 0,70 1,239-

-3472382,1 22069972, 18891505 0,0001916 9 ,69 969 0,54 0,536

TELAIO Y2 fy2 Ty2Ky2 ɳy2 (m) (kN) (kN)-59443334, 36029730, 5461843,6 0,00524784 43 64 979 45,20 86,60-

-36029730, 44498375, 16406393, 0,00929043 48 26 145 20,15 41,40-

-5461843,6 16406393, 11652497, 0,01244464 26 57 269 21,25 21,25

TELAIO Y3 fy3 Ty3Ky3 ɳy3 (m) (kN) (kN)-69857388, 42548112, 3453639,9 0,005155 13,31 113,441 91 72 607 4 1-

-42548112, 22116761, 0,009147 52,02 100,191 59330616 09 67 5 0-

-3453639,9 22116761, 18957089, 0,012269 48,0772 09 04 013 4 48,07

TELAIO Y3 fy3 Ty3Ky3 ɳy3 (m) (kN) (kN)-69857388, 42548112, 3453639,9 0,005155 13,31 113,441 91 72 607 4 1-

- 59330616 - 0,009147 52,02 100,142548112, 22116761, 67 5 0 74

Università della Calabria - Corso di Costruzioni in zona Sismica - A. A. 2016/2017

91 09-3453639,9 22116761,

18957089, 0,012269 48,0772 09 04 013 4 48,07

Verifiche

Infine, per controllare la correttezza del procedimento svolto, si sono risommate per piano le forze j(i) sismiche di ciascun telaio (fx, fy), al fine di confrontarle con i valori della forza sismica di partenza (Fx) già ripartita per piano.

Per sisma lungo x:

(i) (i) (i ) (i)+ + = Fx fx fx1 fx2 fx3

(i) (i ) (i)+ + = 0 fy fy1 fy2 fy3

Per sisma lungo y:

(i) (i) (i )+ + = 0 fx fx1 fx2 fx3

(i) (i ) (i) (i)+ + = Fy fy fy1 fy2 fy3

con i piano i-