Radicali in R, studio parziale di una funzione irrazionale

Complementi di algebra

I radicali in R

• Studio parziale di una funzione irrazionale: domino, intervallo di positività, immagini di elementi del domino.
• Semplificazione di un radicale aritmetico

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I radicali in R

• Studio parziale di una funzione irrazionale: domino, intervallo di positività, immagini di elementi del domino.
• Semplificazione di un radicale aritmetico

Esercizio 1

Considera la seguente funzione.

f(x) = ^{√-4x2 + 9}/_{x² - 1}

1. Trova il suo dominio.
2. Determina i valori di x per i quali f(x) ≥ 0.
3. Calcola f(0) e f(¹/₂).

Troviamo il dominio della funzione.

√-4x² + 9 → -4x² + 9 ≥ 0 → (-2x + 3)(2x + 3) ≥ 0 → -³/₂ ≤ x ≤ ³/₂

x² - 1 ≠ 0 → (x + 1)(x - 1) ≠ 0 → x ≠ ±1

Il dominio della funzione è:

D = { x ∈ ℝ: -³/₂ ≤ x ≤ ³/₂ ∧ x ≠ ±1 }

Risolviamo la disequazione richiesta

√-4x² + 9 ≥ 0 → -4x² + 9 ≥ 0 → -³/₂ ≤ x ≤ ³/₂

x² - 1 > 0 → (x + 1)(x - 1) > 0 → x < -1 ∨ x > 1

Compiliamo il quadro dei segni, riportando sempre il dominio:

La disequazione è verificata per i seguenti valori:

-³/₂ ≤ x < -1 ∨ 1 < x ≤ ³/₂.

Calcoliamo le due immagini richieste:

f(0) = √(-4 ⋅ 0² + ⁹/_{0² - 1}) = √3² = -3

f(¹/₂) = √(-4 ⋅ (¹/₂)² + ⁹/_{(¹/2)² - 1}) = √-1 + 9 = √⁸/₃ = ⁴/₃ √8 = -⁸/₃ √2