Punti stazionari per campi scalari

Punti stazionari per campi scalari

Teorema:

Sia \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \), l'intervallo aperto, \( f \in C^2(I) \).Prendiamo \( x_0 \in I / f'(x_0) = 0 \). Allora:

1. Se \( f''(x_0) > 0 \) allora \( x_0 \) è punto di minimo locale
2. Se \( f''(x_0) < 0 \) allora \( x_0 \) è punto di massimo locale
3. Se \( f''(x_0) = 0 \) caso dubbio

nota differenziabilità di caduta del gradiente

Definizione:

\( x_0 \in A \subset \mathbb{R}^n \) aperto, \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \), \( f \in C^1(A) \). Sia \( x \in A \), \( x \) è due punto stazionario se ∇\( f(x) = 0 \)

oss: se \( m_1 = 1 \), ∇\( f(x) = f'(x) \)

Significato geometrico in n=2

\( f: A = \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) aperto, \( f \in C^1(A) \).Ho \( (x, y) \in A / f(x, y) = h \) lo stazionario ⇒ ∇\( f(x, y) = (0, 0) \)

\( f \in C^1(A) \), quindi f differenziabile in \( (x, y) \) e ammette piano\( T_z = \{ (x, y, z) | dz + (x - \overline{x}) + (y - \overline{y}) \} \).

Z = f(x, y) poiché ∇\( f(\overline{x}, \overline{y}) = 0 \). L'equazione del piano tg diventa \( z = \overline{z} \), dunque \(\pi\) è un piano orizzontale.

Definizione:

Sia \( f: A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \), A sottonieme qualunque.Sia \( x \in A \). Allora:

1. x è un due pt di minimo locale ⇔ \( \exists x_0 \) t.c. \(\{ f(x) \} > \{ f(x) \} \forall x \in B(x, x_0) \cap domf \)
2. x è un due pt di massimo locale ⇔ \( \exists x_0 \) t.c. \(\{ f(x) \} < \{ f(x) \} \forall x \in B(x, x_0) \cap domf \)

Se la condizione 1 o 2 vale \( \forall x \cap domf \), allora x è due punto di minimo/massimo globale o assoluto.

Punto di sella

Definizione:

Se \( f: A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \), A aperto, \( f \in C^4(A) \). Se \( x \in A \) è P. stazionario (∇\( f(x) = 0 \) non è punto né di massimo né di minimo, allora x è detto punto di sella.

Punti stazionari per campi scalari

Teorema

Sia \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \), l'intervallo aperto, \( f \in C^2(I) \). Prendiamo \( x_0 \in I \, / \, f'(x_0) = 0 \).

Allora:

• Se \( f''(x_0) > 0 \) allora \( x_0 \) è punto di minimo locale
• Se \( f''(x_0) < 0 \) allora \( x_0 \) è punto di massimo locale
• Se \( f''(x_0) = 0 \) caso dubbio

Definizione

\( x_a \in A \subseteq \mathbb{R}^n \) aperto, \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \), \( f \in C^1(A) \) sia \( x̄ \in A \). \( x̄ \) è due punto stazionario se \( \nabla f(x̄) = 0 \).

Oss: \( M = 1, \nabla f(x) = f'(x) - f'(x̄) \)

Significato geometrico in \( n = 2 \)

\( f: A = \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \), aperto, \( f \in C^1(A) \). Ho \( (\bar{x}, \bar{y}) \in A / f(x, y) \) ha lo stazionario \( \nabla f(\bar{x}, \bar{y}) = (0,0) \).

\( f \in C^1(A) \), quindi è differenziabile in \( (\bar{x}, \bar{y}) \) e ammette il piano \(\Pi: z = f(\bar{x}, \bar{y}) + \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{x}, \bar{y}) (x - \bar{x}) + \frac{\partial f}{\partial y} (\bar{x}, \bar{y}) (y - \bar{y}) \)

\(\nabla f(\bar{x}, \bar{y}) = (0,0) \) quindi \(\Pi: z = f(\bar{x}, \bar{y}) \).

L'equazione del piano tangente \( \Pi \) è un piano orizzontale

Definizione

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \, A \) sottoinsieme qualunque. Sia \( x̄ \in A \). Allora:

1. \( x̄ \) si dice punto di minimo locale se \( \exists x_0 \, \) tale che \(\{ f(x) \} \leq \{ f(x̄) \} \, \forall x \in B(x_0, x) \cap dom(f) \)
2. \( x̄ \) si dice punto di massimo locale se \( \exists x_0 \, \) tale che \(\{ f(x) \} \geq \{ f(x̄) \} \, \forall x \in B(x_0, x) \cap dom(f) \)

Se la condizione 1 o 2 vale \( \forall x \in dom(f) \), allora \( x̄ \) si dice punto di minimo/massimo globale o assoluto.

Punto di sella

Definizione

Se \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \, A \) aperto, \( f \in C^4(A) \). Se \( x̄ \in A \) e \( x̄ \) è stazionario \((\nabla f(x̄) = 0) \) non è punto né di massimo né di minimo, allora \( x̄ \) si detto punto di sella.

ESEMPI:

a) \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) paraboloide ellittico

\( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), \( f \in C^1(\mathbb{R}^2) \)

Cerchiamo i punti stazionari:

\( \nabla f(x,y) = (0,0) \rightarrow (2x, 2y) = (0,0) \)

\((x,y) = (0,0) \) p.to stazionario è punto di minimo globale

\( f(x,y) = x^2 + y^2 \ge 0 \)

\( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \)

b) \( f(x,y) = -\frac{1}{1+x^2+y^2} \)

\( z = -\frac{1}{1+x^2+y^2} \)

iperboloide a due falde

(si considera solo quello inf. per il meno)

Cerchiamo i p.ti stazionari:

\( \left( \frac{x}{1+x^2+y^2}, \frac{y}{1+x^2+y^2} \right) = (0,0) \)

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