Punti stazionari per campi scalari

Punti stazionari per campi scalari

Teorema: Sia f : I → ℝ I intervallo aperto, f ∈ C²(I). Prendiamo x₀ ∈ I / f'(x₀) = 0.

• Se f''(x₀) > 0 allora x₀ è punto di minimo locale.
• Se f''(x₀) < 0 allora x₀ è punto di massimo locale.
• Se f''(x₀) = 0 è caso dubbio.

Def: x̄₀ ∈ A ⊆ ℝⁿ aperto, f : A → ℝ, f ∈ C¹(A) Sia x̄ ∈ A, x̄ è un punto stazionario se ∇f(x̄) = 0.

Oss.: n = 1, ∇f(x) = {f'(x)}

Significato geometrico in n = 2

A = ℝ² aperto, f ∈ C¹(A), Ho (x̄,ẏ)∈ A / {fₓ(x̄,ẏ), fᵧ(x̄,ẏ)} = (0,0) ↔ ∇f(x̄,ẏ) = (0,0)

f ∈ C²(A) quando f è differenziabile in (x̄, ẏ) e ammette piano tg π : {z ∈ ℝ | z = f(x̄) + fₓ(x̄)(x−x̄) + fᵧ(x̄)(y−ẏ) }

Se fₓ(x̄, ẏ) = fᵧ(x̄, ẏ) = 0↔∇f(x̄, ẏ) = (0,0)

L'equazione del piano tg diventa z = z̄, dunque π è un piano orizzontale.

Def: Sia f : A ⊆ ℝⁿ → ℝ A arbitrariamente qualunque. Sia x̄ ∈ A. Allora:

1. x̄ è un pto di minimo locale se ∃ᵣᵪ / t.c f(x̄) ≤ f(x) ∀ x ∈ Bᵣᵪ(x̄) ∩ domf
2. x̄ è un pto di massimo locale se ∃ᵣᵪ / t.c f(x̄) ≥ f(x) ∀ x ∈ Bᵣᵪ(x̄) ∩ domf

Se la condizione 1 o 2 vale ∀ x ∈ domf, allora x̄ è detto punto di minimo/massimo globale o assoluto.

Punto di sella

Def: Se f : A ⊆ ℝⁿ → ℝ A aperto, f ∈ C¹(A), Se x̄ ∈ A è pto stazionario (∇f(x̄) = 0) ma x̄ non è punto né di massimo né di minimo, allora x̄ è detto punto di sella.

ESE MPI:

a) f(x,y) = x² + y⁴ paraboloide ellittico

f : ℝ²→ℝ f ∈ C¹(ℝ²)

Cerchiamo i punti stazionari:

∇f(x,y) = (0,0) → (2x, 4y³) = (0,0)

(x,y)=(0,0) p.to stazionario → è punto di minimo globale f(x,y)=x²+y⁴>0 ∀(x,y)∈ℝ²

b) f(x,y) = - √14x³y²

z=- √14x³y² z²=x²+y² z²-x²-y²=1 iperboloide a due falde

(in condecsa solo quelli inf, per il meno)

Cerchiamo i p.ti stazionari:

(x/√14x³) - (y/√14x³y²) = (0,0)

(x,y)=(0,0) p.to di massimo globale, f(x,y)= - √14x³y² < 0 ∀(x,y)∈ℝ²

c) f(x,y) = y⁴-x²

z = y²-x² paraboloide iperbolico

f : ℝ²→ℝ

f ∈ C¹(ℝ²)

∇f(x,y) = (-2x, 4y³) = (0,0)

(x,y)=(0,0)

∀ x∈(0,0,ε) contiene punti (0,y) t.c. f(0,y)=y⁴>0 e punti (x,0) tali che f(x,0)=-x²=0

(0,0) non è minimo né massimo, è punto di sella

f(x + tv) = f(x) + ∇f(x)∙tv + 1/2 Hf(x)(v,v)∙t² + o(||v||²t²) per t → 0(t=modulo...condizione)...

f(x + tv) - f(x) = t²[1/2(Hf(x)(v,v)] + o(t²) per t → 0

f(x + tv) - f(x) = t²[1/2(Hf(x)(v,v)] + o(1), t → 0λ ≥ 0 → la matrice è semidefinita positiva

TEOREMA: CONDIZIONE SUFFICIENTE PER PUNTO STAZIONARIO

Sia A ⊆ ℝ^m aperto, e sia f: A → ℝ, f ∈ C²(A), sia x ∈ A un punto stazionario(∇f(x)=0)

1. a) Se Hf(x) è definito positivo, allora x è punto di minimo locale.
2. b) Se Hf(x) è definito negativo, allora x è punto di massimo locale.
3. c) Se Hf(x) è indefinita allora x è punto di sella.

Dim. (a)

Hf(x) sia definito positivo.x̅ ∈ A aperto → ∃B(,x)∈A e sia h∈ℝⁿ tc h≠0 & <h>>>>x

f(x + h) - f(x) = ∇f(x)h + 1/2(Hf(x)x h h) + o(||h||²), h → 0poi grado = solo al→

Per ipotesi Hf(x) definita positiva, allora detto λ_min il più piccolo autovalore di Hf(x)(λ_min > 0) se ha la seguente disuguaglianza:

(Hf(x)hh)h ≥ λ_minNhN ||h||² (∀h ∈ ℝⁿ)

Usando la formula di Taylor e *

f(x + ...) - f(x) ≥ 1/2 λ_min ||h||² + o(||h||²), h → 01/2 λ_min ||h||² \\ > 0 ||h||²

(2) da h(h) per h >>> 0punto primali

(SKETCH) Per ipotesi detH ≠ 0 e detH = λ₁λ₂λ₃ le sono due eventualitá:

1. detH < 0 quando λ₁, λ₂, λ₃ c'osservano che λ₁, λ₂, λ₃ non possono esere tutti negativi altrimenti H def. negativo. Per il teorema di Sylvester diventerebbe violato caso (ii) ≠ contro les ipotesi. Invece H non è definito: positivo perchè contraddice delH < 0
2. detH > 0 λ₁, λ₂, λ₃ possono esere tutti positivi altrimenti avrei (i) del teorema. L’unica possibilità è che autovalori negatini ed uno positivo ⇒ H indefinito.

CASO NH-2

H = _{ij k=1} H: ^{(a b)(b d)}

a,b,d ∈ ℝ

detH = ad - b² < 0

H: def. positiva ⇔ a>0 , detH>0

H: def. negativa ⇔ a<0 , detH>0

H: indefinita ⇔ detH<0

ES.4

Det. pt di max/min du f(x,u) = x⁴+x²u²-x²+u⁴ f∈ C²(ℝ²)

∇f(x,u) = (4x³+2xu²-4x + 2x²u, 2x²+4u³) = 0 ⇔ {4x³ + 2xu² - 4x = 0} {2x² + 4u³ = 0}

P₁:(0,0) P₂:(1,0) P₃:(-1,0)

f_xx((x, u)) H₂((x,u)) ^{(4x3+2xu24x)(4x4x2}

H_f(0,0) ^{(-4 0)(0 4)} è indefinida ⇒ (0,0) p.to sella.

H_f(-1,0) ^{(8 0)(0 6)} def pos. ⇒ (4,0) p.to minimo.