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Prova scritta di meccanica razionale (15 gennaio 2016)
(C.d.L. Ing. Energetica - Prof. A. Muracchini)
Il sistema in figura, mobile in un piano verticale, è costituito di un'asta AB omogenea (massa m, lunghezza 2l) il cui estremo A è vincolato a scorrere lungo l'asse Oy senza oltrepassare il punto di ordinata q = -l. Oltre alla forza peso, agiscono sul sistema:
- la forza elastica Fel = -kOA (k > 0);
- la forza F = -Fi (F > 0, costante; i versore dell'asse Ox) applicata nel punto B;
- la forza di resistenza viscosa Ψ = -hvA (h > 0), che si esercita sul punto A.
Assunti come parametri lagrangiani l'angolo θ e l'ordinata q del punto A (vedi figura) e introdotto il parametro adimensionale positivo λ = mg/2F si chiede:
- Ricavare le configurazioni di equilibrio ordinarie e discuterne la stabilità;
- Determinare, in funzione della costante elastica k della molla, le eventuali configurazioni di equilibrio di confine;
- Usando le equazioni cardinali della statica, ritrovare le configurazioni di equilibrio già determinate nella domanda (1) e calcolare la reazione vincolare che si esercita in A nelle posizioni di equilibrio;
- Calcolare la reazione vincolare che si esercita in A durante il moto;
- Ricavare le equazioni di Lagrange del moto.
Coordinate dei punti
A = (0, q) B = (2l cos(π - θ), q - 2l sen(π - θ))
= (-2l cos θ, q - 2l sen θ)
G = (-l cos θ, 0; q - l sen θ)
Forze agenti sul sistema
FE = -F x̂ Fp = -mg
Fel = k 0 A ĵ = -kq ĵ
ψ = h v A ĵ
Potenziale
Vf ; dL = F x̂ dB = -F x̂ x d xB â = -F d xB â
→ V = 2 F l cos θ
Vp = -mg( q - l sen θ) = -mgq + mg l sen θ
Vel = k/2 (OA)2 = -k/2 q2
VTOT = 2F l cos θ - mgq + mg l cos θ - k/2 q2
U0 = -mg - kq = 0 q = q = l
→ 2F q 0 1 0
→ cos θ = + (π/2)
→ tg θ = → θ = arctg( mg / 2F ) 1 θZ = π + arctg( λ )
→ 1 ≤ mg/2f → F → mg/2 → F = mg/2
q - l → k
dT/dθ = 4/3 ml2 θ̇ - ml cos θ q̇ + ml sin θ θ̇ q
dL/dq = ∂L/∂q + ∂L/∂q̇ = 0 - mg - kq
dL/dθ = ml sin θ q̇ θ̇ - 2FL sin θ + mgl cos θ
dR/dq̇ + bq̇
R = 1/2 hA q̇2 = 1/2 hf q̇2
∫ mq̈ - ml cos θ θ̈ + ml sin θ θ̇2 + mg + kq = -bq̇
4/3 ml θ̈ - ml cos θ q̈ + 2FL cos θ - mgl sin θ = 0
Due 2ª incognite in 2 equazioni
ÿy + mg - ( - l + ) + Φy = 0 → Φx = 0
Energia cinetica ed equazioni linearizzate del moto
T = 2 + 2 mp vp2 + 1 I ωI2
ω = Θ* ̇ k → ωI2 = Θ ̇2
vI2 = ( xpI )2 + ( ypp )2 + ( x + l cosΘ ̇ )2 + ( -lcosΘ ̇ )2
= xI2 + lIp
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