Prove esame meccanica razionale, prof Frosali

Un sistema piano è costituito da due punti materiali

P₁ e P₂ di massa m vincolati a scorrere su una

circonferenza fissa di centro O e raggio R.

Tra i due punti si esercita una forza elastica di

costante c. Su P₁ agisce una forza costante

F₁. Su P₂ agisce il campo F₂ = A(y₁ - x₁)

(A costante positiva). 1) Scrivere l'energia cinetica dei

2 punti. 2) Scrivere il potenziale della forza elastica.

3) Scrivere le equazioni di moto del sistema.

T = ½ mv₁² + ½ mv₂²

T = ½ m R² θ'² + ½ m R² φ'² OK

Forza elastica = -K(|p₁ - p₂|)

P₁ = (R cosθ, R senθ)

P₂ = (R cosφ, R senφ)

|(R cosθ, R senθ) - (R cosφ, R senφ)|

|(R cosθ - R cosφ, R senθ - R senφ)|

Modulo = ½ k(|p₁ - p₂|)

(φ' - θ')² = (sen φ' + cos θ')²

DR = 2R (null + cos φ')

(d/dt)Δψ = Δx / √(Δx₂) F₃

F₃ - non è conservativa poiché

Δψ/Δy = Δx/Δx

F_3R => F_S0 L = F_S2

=> 2R (cos φ)

Un sistema piano è costituito da due punti materiali P₁ e P₂ di massa m vincolati a scorrere su una circonferenza di raggio R.

Tra i due punti è esercita una forza elastica di costante k su P₁ agisce una forza costante F₁ e mentre su P₂ agisce il campo F₂ = A(y₁ - x_j)

1. Scrivere l’energia cinetica dei 2 punti.
2. Scrivere il potenziale della forza elastica
3. Scrivere le equazioni di moto del sistema.

d/dt ( ∂/∂θ̇ ) = mR²θ̇ d/dθ - ∂/∂θ = 1/2 k [ 2R²nul(θ + θ') ] + FR cosθ

R cosθ = 0

d/dt (...) = mR²φ̈ = 1/2 k [ 2R²nul(θ + θ') ] d/∂θ̇ - ∂/∂θ = A_yjR cosφ + A_xR nulφ

EQ DI MOTO

mRφ̈ + 1/2 k [ R² nul (θ + θ̇)] - FRnulφ = 0 (S1)

mRθ̈ + k [ R² nul (θ + θ̇) ] - A_yjRcosφ + A_x Rnulφ = 0

A_R cos γ̄ + φ̇² 2k θ̇ γ̄ = AR²

1

Si consideri il sistema biella-manovella, come in figura. Le aste sono omogenee, uguali, di lunghezza ℓ e massa M.

1. Calcolare la velocità del centro di massa dell'asta (1).
2. Calcolare l'energia cinetica dell'intero sistema (2 aste).
3. Scrivere il momento angolare rispetto al punto O.

2

Si consideri una lamina a forma di L determinata assemblando tre lamine quadrate Q₁, Q₂, Q₃ uguali, omogenee di lato ℓ e pesanti di massa m. La lamina mantenuta su un piano verticale, è libera di ruotare intorno al vertice O (vedi figura). Nei baricentri di Q₂ e Q₃ sono applicate due forze

con k costante positiva (modulo costante ma non la direzione).

Sotto il ipotesi di vincoli lisci, scrivere l'equazione di moto della lamina. Determinare i punti di equilibrio e calcolare il valore della reazione vincolare in O, all'equilibrio.

3

Due masse m₁ e m₂, sono libere di muoversi, senza attrito su due guide rettilinee concorrenti in O e situate in un piano verticale, dove x₁ e x₂ sono gli angoli che le due guide formano con la verticale. Le due masse sono congiunte con un filo flessibile e inestensibile, di massa trascurabile, che si avvolge in O su di una piccola carrucola.

1. Studiare il moto.
2. Calcolare le reazioni delle guide in P₁ e P₂.