Problemi di massimo e minimo sulla parabola

3 Problemi di massimo e minimo sulla parabola 4 + = 10 − 5,

Determina il punto della parabola di equazione per il quale la somma delle sue

179)

coordinate è massima. ,

Svolgimento

− + 10 − 5

Iniziamo col portare l’equazione della parabola in forma esplicita:

: = 4

Sia P(x,y) il generico punto di , le sue coordinate devono verificare l’equazione della curva :

+ 10 − 5

−

= ; 4

Costruiamo la funzione da massimizzare, ovvero la somma delle coordinate di P, sia allora:

= + che possiamo scrivere anche come:

4 − + 10 − 5

= 4

1

= + 14 − 5

−

4

Per cercare il massimo, deriviamo e studiamo la derivata prima:

1

′ = −2 + 14

4

≥ 0 → −2 + 14 ≥ 0 → ≤7

Grafico di 7

> 0→ è '()*')+,)

< 0→ è .)'()*')+,)

= 0→ ℎ0 1+ 20**324 3+ =7

Le coordinate di P sono allora: = 7 = 7; 4

57; 6

……………………………………………

Siano A e B i punti comuni alle parabole di equazioni:

182) 1: = 8 −

2: = −6

;

Conduci una retta parallela all’asse delle ordinate in modo che, dette M ed N le intersezioni di con l’arco

s s

9: rispettivamente della 1 e della 2, sia massima la lunghezza del segmento MN.

Svolgimento

Troviamo le coordinate di A e B risolvendo il sistema delle due equazioni delle parabole:

=8 − =0∨ =7

2

8 − = −6 − 14 = 0

⟹< ⟹<

⟹<

< =0∨ =7

− 6 − 6

= =

= −6

9 = 0; 0 ) : = 7; 7

Abbiamo le coordinate dei due punti: ;

= * 9: 0 < * < 7

Sia la retta che interseca l’arco , con .

Le coordinate di M ed N sono date dai sistemi seguenti:

= 8 −

?: ⟹ ? = *, 8* − *

< =*

= − 6

@: ⟹ @ = *, * − 6*

< =*

La funzione da massimizzare è la lunghezza del segmento MN:

* = ?@

⌊ ⌋

− *

* = 8* − * − 6*

⌊14* ⌋

* = − 2*

* = 14* − 2* '4+ 0 < * < 7

Deriviamo: ′ * = 14 − 4* 7

≥0 ⟹*≤

C 2

Grafico di 7

2

> 0→ è '()*')+,)

< 0→ è .)'()*')+,) 7

= 0→ ℎ0 1+ 20**324 3+ = 2

D

=

La retta s, cercata, ha equazione

Un’animazione con GeoGebra.

https://ggbm.at/ux9rpzjj = 4 −

Nel piano cartesiano xOy è data la parabola di equazione . Conduci una retta parallela

184) r

all’asse delle ascisse, in modo che il triangolo AOB abbia area massima, essendo A e B le intersezioni di r

con l’arco di parabola situato nel primo e secondo quadrante.

Svolgimento = 4 −

Dall’equazione della parabola , essendo il coefficiente a<0, sappiamo che essa ha la concavità

rivolta verso il basso, ha il vertice sull’asse delle ordinate e quindi questo è anche asse di simmetria. Le

intersezioni con l’asse delle ascisse sono i punti C=(-2;0) e D=(2;0).

Sia r: y=k, l’equazione della retta parallela all’asse delle ascisse che interseca la parabola nei punti A e B, con

0<k<4 essendo 4 l’ordinata del vertice.

Mettiamo a sistema la retta con la parabola e otteniamo le coordinate di A e B in funzione di k:

9 = −√4 − F6

5F;

=4− = ±√4 − F

→ →

E E E

=F =F : = +√4 − F6

5F;

Costruiamo ora la nostra funzione, cioè l’area del triangolo

AOB, in funzione di k:

IJ∙L IJ∙M

=

Area= 9: = − FN = 2√4 − F

N2√4

La misura di

Dunque la nostra funzione da massimizzare è

9: ∙ F 2F√4 − F

F = = = F√4 − F

2 2

Come si vede dalla figura al lato A e B dipendono da k.

Esiste però un unico valore di k per cui questa area è

massima, troviamolo con lo studio della derivata prima.

8 − 3F 8

F = → F ≥0→ ≤ 3

− F

√4

E dal grafico della derivata, ancora una volta individuiamo il punto di massimo.