Prima esercitazione di Statistica

Esercizio 7.72

Si è rilevato che l'80% degli studenti iscritti all'ultimo anno di una certa università ha accettato una proposta di lavoro prima della laurea. Per coloro che hanno accettato, gli stipendi annui seguono una distribuzione normale, con media 37,000 $ e deviazione standard 4,000 $.

X ~ N(37,000, 4,000²)80%: proporzione della popolazione = p

1)

In un campione casuale di 60 studenti dell'ultimo anno, qual è la probabilità che meno del 70% abbia accettato di lavorare prima della laurea?n = 6070%: proporzione campionaria

^{^}p = X/n

P(^{^}p < 0.7) = ?

• P(^p < 0.7), P(Z < z) = P(Z < ^p - p 1p(1-p)n)
• P(Z < 0.7 - 0.80.8(1-0.8)60) = P(Z < -1.94)

F(1.94) = 0.97381 - 0.9738 = 0.026

b)

In un campione casuale di 6 studenti dell'ultimo anno, qual è la probabilità che meno del 70% abbia accettato prima della laurea?n = 6

P(^p < 0.7) = P(Z < 0.7 - 0.80.8(0.2)6)

F(0.61) = 0.72901 - 0.7290 = 0.2709

c)

In un campione casuale di 6 studenti dell'ultimo anno che ha accettato di lavorare prima della laurea, qual è la probabilità che lo stipendio medio sia superiore a 38,000 $?

P(^-x > 38000) = P(Z > ^{38000 - 37000}₄₀₀₀₆)

F(0.61) = 0.72901 - 0.7290 = 0.2709

Esercitazione (Campionamento e distribuzioni campionarie)

Esercizio 7.72

Si è rilevato che l'80% degli studenti iscritti all'ultimo anno di una certa università ha accettato una proposta di lavoro prima della laurea. Per coloro che hanno accettato, gli stipendi annui seguono una distribuzione normale, con media 37,000 $ e deviazione standard 4,000 $.

X ~ N(37,000; 4,000²) 80% = proporzione della popolazione = p

1. In un campione casuale di 60 studenti dell'ultimo anno, qual è la probabilità che meno del 70% abbia accettato di lavorare prima della laurea?

n = 60 70% = proporzione campionaria

^p̂ = X/n P(^p̂ < 0.7) = ?

P(^p̂ < 0.7) = P(Z < z) - P(Z < ^p̂-p / ^p(1-p)√/_n) = P(Z < (0.7-0.8) / ^0.8(1-0.8)√/₆₀) = P(Z < -1.94)

_F(1.94) = 0.9738

1 - 0.9738 = 0.026

a) In un campione casuale di 6 studenti dell'ultimo anno, qual è la probabilità che meno del 70% abbia accettato prima della laurea?

n = 6

P(^p̂ < 0.7) = P(Z < 0.7 - 0.8 / ^0.8(0.2)√/₆)

_F(0.6) = 0.7290

1 - 0.7290 = 0.2709

c) In un campione casuale di 6 studenti dell'ultimo anno che ha accettato di lavorare prima della laurea, qual è la probabilità che lo stipendio medio sia superiore a 38,000 $?

P(^x̄ > 38,000) = P(Z > 38,000 - 37,000 / ^4,000/√6)

F(0.61) = 0.7290

1 - 0.7290 = 0.2709

d) Si sceglie a caso uno studente dell'ultimo anno. Qual è la probabilità che abbia accettato una proposta di lavoro con uno stipendio superiore a 38000 $?

P(X > 38000) = P(Z > \frac{38000-37000}{4000}) = P(Z > 0.25) = F(0.25) = 0.59871

1 - 0.59871 = 0.40129

Esercizio 7.6.1

Una società offre il servizio di manutenzione per condizionatori domestici. Si è visto che i tempi di servizio relativi a ogni intervento seguono una distribuzione normale, con media di 60 minuti e deviazione standard 10 minuti. Si considera un campione casuale di 4 interventi. X = N(60, 10^2) n = 4;

a) Qual è la probabilità che la media campionaria dei tempi di servizio sia superiore a 65 minuti?

P(\overline{X} > 65) = P(Z > \frac{65-60}{\frac{10}{\sqrt{4}}}) = P(Z > 1) => F(1) = 0.8413

1 - 0.8413 = 0.1586

b) Quale valore della media campionaria dei tempi di servizio è preceduto con probabilità 0.10?

F(1.28) = 0.90 P(Z < -1.28) = 0.10 -1.28 = \frac{\overline{X} - 60}{10/\sqrt{4}} => \overline{X} = 53.6

c) Quale valore della deviazione standard campionaria dei tempi di servizio è superato con probabilità 0.10?

VARIANZA CAMPIONARIA => distribuzione \chi^2

P(\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} > K_{n-1,1-\alpha}) = P(\chi^2_{n-1} > K) K_{3,0.10}

\chi^2_{3,0.10}= \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} => 6.25 = \frac{3 S^2}{10^2} => S^2 = 625/3 => S^2 = 208.33 => S = 14.43