Previsione rendimenti e volatilità con modelli Garch-Tgarch (progetto econometria finanziaria)

INDICE

1. INTRODUZIONE

2. ANALISI SERIE STORICA

3. I MODELLI TEORICI

4. SIMULAZIONE MODELLI

5. PREVISIONE

6. CONCLUSIONE

7. APPENDICE

INTRODUZIONE

La presente analisi si basa sulla previsione dei rendimenti e della volatilità del titolo PFIZER, azienda farmaceutica statunitense leader del mercato mondiale sia dal punto di vista del fatturato che degli investimenti in ricerca. La scelta di questo titolo è influenzata dalla situazione attuale di pandemia che stiamo vivendo: considerando la recente notizia della produzione del vaccino, potrebbe sicuramente risultare interessante effettuare una previsione su questa società. I risultati e le procedure che rappresenteremo verranno effettuate grazie al supporto del linguaggio di programmazione R, ambiente di sviluppo adatto all'analisi delle serie storiche. Ci avvarremo di alcuni packages molto utili tra cui "rugarch". I dati che abbiamo a disposizione sono le serie storiche dei prezzi di Pfizer, scaricati da Yahoo.

finance; nel dettaglio sono stati considerati i prezzi giornalieri del titolo in questione in un intervallo di tempo che va dal 27-12-2017 al 25-11-2020. In prima battuta presenteremo una analisi della serie storica: trasformeremo i prezzi in log rendimenti per combattere il problema della non stazionarietà e analizzeremo alcune caratteristiche generali. Successivamente esamineremo teoricamente i modelli che meglio potrebbero adattarsi ai dati in questione. Eseguiremo la simulazione dei modelli scelti, facendo emergere quello che, in fine, verrà usato per effettuare la previsione.

32. ANALISI DELLA SERIE STORICA

I rendimenti dei titoli, in generale, mostrano spesso un andamento caratterizzato da periodi con larghe variazioni che sono seguite da ulteriori grandi variazioni e, viceversa, periodi in cui si verificano piccoli cambiamenti seguiti da cambiamenti ancora più piccoli. Per queste tipologie di serie storiche quindi una volatilità che cambia nel tempo è molto

più frequente di una volatilità costante, in termini tecnici sipresenta il fenomeno del “volatility clustering”.Osserviamo i log-rendimenti di PFIZER:E’ facile notare dal grafico quanto detto precedentemente: le ampie oscillazioni nonpossono che dipendere da alcune informazioni assorbite dai mercati, come lo scoppiodella pandemia Covid 19 a Marzo 2020 e l’uscita del vaccino a Novembre 2020.Questa impostazione ci permette di notare la presenza di eteroschedasticità, chetesteremo in seguito attraverso uno specifico modello.Per analizzare meglio questa caratteristica è utile osservare anche il grafico deirendimenti al quadrato che evidenzia meglio la variabilità:4Un altro elemento fondamentale, sul quale è necessario focalizzare inizialmentel’attenzione, è la stazionarietà della serie storica. Per stazionarietà si intende quando leproprietà statistiche di un processo non cambiano nel tempo.

L'evidenza empirica suggerisce che tale caratteristica sia essenziale in una serie storica se si intende fare una previsione, perché, in caso contrario, se le nostre osservazioni dipendessero in modo stringente dal periodo che stiamo osservando, si potrebbe cadere in errori di stima. Un classico esempio potrebbe essere l'effetto della stagionalità. Stando alla precedente osservazione è risultato necessario utilizzare i log rendimenti poiché se avessimo utilizzato, ad esempio, i prezzi del titolo, la previsione avrebbe comportato dei problemi in quanto sarebbe emerso il problema della stazionarietà della serie. Dimostriamolo: Per verificare la presenza di stazionarietà nel caso specifico della serie storica rappresentante i prezzi del titolo PFIZER, utilizziamo il test di Dickey-Fuller aumentato. La nullità che vogliamo rigettare è "non stazionarietà" contro l'alternativa "stazionarietà".farlo ci serviamo di una funzione di R che ha fornito i seguenti risultati:
Poiché il p-value risulta pari a 0,2839 non possiamo rigettare la nulla e questo ci porta a dover affrontare il problema della non stazionarietà.
Trasformando invece i prezzi in log-rendimenti e svolgendo nuovamente il test di DF aumentato, otteniamo:
Possiamo a questo punto rigettare la nulla e accettare l'alternativa di stazionarietà dei rendimenti, assicurandoci in questo modo di poter sviluppare delle previsioni.
53. I MODELLI ECONOMETRICI
Il modello che ingloba perfettamente le caratteristiche analizzate è il GARCH, ossia una generalizzazione del modello ARCH nei quadrati della serie storica. Si tratta di un modello abbastanza interessante per effettuare previsioni che ci permette di concentrarci sulla volatilità.
La scelta del GARCH rispetto ad un ARCH, nonostante il concetto sia molto simile, è stata determinata in funzione del principio di parsimonia ossia perottenere delle stime il più precise possibili, utilizzando meno parametri. Osserviamo il modello da un punto di vista algebrico: Un GARCH(p, q) assume la forma seguente: h = α0 + ∑(i=1)^p αi * ε^2(t-i) + ∑(j=1)^q βj * h(t-j) Rispetto al modello ARCH abbiamo in più il valore ritardato della variabile h (volatilità). Affinché il processo sia stazionario devono valere le seguenti condizioni: αi > 0, per i = 1, ..., p e βj > 0, per j = 1, ..., q. Tuttavia questo modello presenta dei limiti, che possono impattare fortemente sulla nostra specifica previsione: questo modello tratta shock negativi e positivi allo stesso modo, mentre invece spesso le notizie negative hanno impatto sulla volatilità maggiore rispetto alle positive. Quindi da un punto di vista di previsione possono essere sbagliati. Questa incapacità ha portato allo sviluppo di nuovi modelli che potessero superare questo limite. Un esempio è rappresentato dai modelli Threshold GARCH (TGARCH) (model of Zakoian (1994)): Questi modellisono stati simulati i modelli GARCH e TGARCH utilizzando il linguaggio di programmazione R. La simulazione ha permesso di evidenziare come il modello TGARCH sia in grado di superare i limiti del modello standard e di adattarsi meglio ai dati considerati in questa analisi.per simulare il modello è necessario descrivere congiuntamente il comportamento del livello medio e della sua volatilità, realizzando un processo stocastico denominato ARMA-GARCH con lo scopo di spiegare il livello medio del fenomeno tramite un ARMA e la sua volatilità tramite un GARCH. Procediamo con la simulazione del modello utilizzando i rendimenti del titolo PFIZER. Per prima cosa dobbiamo decidere l'ordine del nostro modello: è necessario quindi specificare sia l'ordine del GARCH sia l'ordine dell'ARMA. La prassi dimostra che il GARCH(1,1) è una buona rappresentazione della realtà: di fatti, attraverso varie prove manuali, è stata raggiunta la stessa conclusione anche per i presenti dati. Utilizziamo lo strumento del correlogramma che ci permette di osservare la funzione di autocorrelazione (ACF) e di autocorrelazione parziale (PACF). Dal grafico dell'ACF osserviamo che i leg vanno subito a 0, orientiamo la

La nostra scelta, perciò, attraverso ulteriori prove manuali, è verso un ARMA(0,1)-GARCH(1,1) che segue la distribuzione t student.

Osservando i parametri possiamo capire se sono statisticamente significativi e se quindi il modello scelto si adatta o meno ai nostri dati.

Quasi tutti i coefficienti sono significativi, tranne il coefficiente omega e alpha1 che presenta invece un valore del p-value troppo alto.

Per una stima ancora più precisa consideriamo gli standard error robust (che vanno a correggere l'eteroschedasticità):

Il risultato ottenuto ci fa sospettare che il modello stimato non sia il migliore in assoluto poiché i parametri significativi sono diminuiti.

Un secondo modello da stimare, ritenuto adatto ai fini di questa previsione, è il modello Threshold-GARCH. Questo modello, come precedentemente evidenziato, risolve il grosso limite che caratterizza il modello GARCH standard, ossia distinguere l'impatto sulla volatilità di una bad news.

Rispetto ad una good news. Approfondiamo dunque questo modello, utilizzando l'ordine ARMA(0,1)-TGARCH(1,1) che segue sempre la distribuzione t student e vediamo se effettivamente il modello migliora:

Nonostante i parametri siano aumentati, abbiamo un vantaggio derivante dai coefficienti poiché tutti risultano statisticamente significativi all'1% e al 5%. Eta11 (coincide con nella spiegazione del modello) risulta essere maggiore di 0 e lambda1 questo sta a significare che gli shock negativi avranno effetti maggiori sulla volatilità rispetto agli shock positivi.

Osservando oltretutto gli standard error robust notiamo che i valori stimati non cambiano, ma l'analisi dei t values e delle probabilità associate ci permette di concludere che i parametri stimati sono tutti significativi oltre ogni ragionevole intervallo di confidenza, sostenendo ancor più la scelta dei parametri.

Tuttavia, prima di procedere con la previsione vera e propria, analizziamo la

e i limiti di confidenza, indicando una mancanza di correlazione seriale significativa. Per quanto riguarda la volatilità, il modello GARCH(1,1) sembra essere in grado di catturare bene la dinamica della stessa. Infatti, l'andamento della volatilità stimata segue in modo coerente le variazioni osservate nella serie storica dei rendimenti. In conclusione, il modello ARMA(0,1)-GARCH(1,1) sembra essere adeguato per la modellizzazione della serie storica dei rendimenti. Tuttavia, è sempre consigliabile effettuare ulteriori test e analisi per confermare i risultati ottenuti.