Potenziale elettrostatico, lavoro del campo elettrico su un protone

2 −

(3 1)

() = + 4 −

Data la funzione rappresentante un potenziale elettrico,

calcolare la sua derivata e determinare il lavoro compiuto dalla forza elettrica per spostare

un elettrone dall'origine del piano cartesiano al punto P(0;1); quanto vale il lavoro

dell'elettrone se il percorso fosse chiuso?

Calcolo della derivata prima.

Dominio 2 −

(3

() = + 4 − 1)

=

La funzione V(x) è definita per ogni valore di R

Derivata prima

2 −

(3

() = + 4 − 1)

Applichiamo la regola del prodotto di due funzioni:

′ ()

[() ⋅ ()] = ⋅ () + () ⋅ ′()

2 ′

(3 ()

() = + 4 − 1) → = 6 + 4

− ′ −

()

() = → = −

′ − 2 −

(6 (3

() = + 4) ⋅ + + 4 − 1) ⋅ (− )

′ − 2

[(6 (3

() = + 4) − + 4 − 1)]

′ − 2

() (−3

= + 2 + 5)

Portiamo il segno meno fuori della parentesi:

′ − 2

() (3

= − − 2 − 5)

’ ’ =

Il domino della derivata coincide con quello della funzione:

Studiamone il segno e gli zeri eventuali ′ ()

≥ 0

− 2

(3

− − 2 − 5) ≥ 0

− −

− ≥ 0 → ≤ 0

{ 2

3 − 2 − 5 ≥ 0

L’esponenziale è sempre positiva quindi mai minore di zero, la presenza del segno meno rende però il

primo fattore sempre negativo.

Studiamo il segno del trinomio di secondo grado

2

3 − 2 − 5 ≥ 0

Risolviamo l’omogena associata: 2

3 − 2 − 5 = 0

2

Δ = − 4 = 64 > 0 6

= − = −1

2 ± 2 ± 8

√64 1 6

= = ={

1,2 10 5

6 6 = =

2 6 3

Il trinomio è positivo per valori esterni: 5

2

3 − 2 − 5 ≥ 0 → ≤ −1 ∨ ≥ 3

Il primo fattore è negativo, quindi la derivata risulta positiva internamente, come riportato nel quadro

dei segni: ()

La funzione ha:

 = −1

un minimo relativo in 5

 =

un massimo relativo in 3

Calcoliamo anche i valori che la funzione assume in essi:

[