Fisica generale - l'elettromagnetismo potenziale elettrostatico

Potenziale Elettrostatico

Energia Potenziale Elettrica (1)

Energia Potenziale di un punto materiale carico di prova nel campo di una carica

puntiforme

tif

La forza agente su un punto materiale carico di prova nel campo di una carica

q

   0



puntiforme fissa è , dove è il campo generato da .

q q

F q E E

0

Se il punto materiale

i l carico

i di prova viene

i spostato i

in tale

l campo l

lungo una traiettoria

i i

   

      

 0

circolare (v. fig.) , in ogni punto della traiettoria è per cui E dl E d l cos 90 0

E d l

   

b b

 

   

e q

quindi F d l q E d l 0

0

a a

Ovviamente ciò è vero per qualunque spostamento lungo un arco di

cerchio e anche per qualunque percorso sulla superficie di una sfera

purchè entrambi abbiano il loro centro nella carica puntiforme .

q

Se il punto materiale viene spostato lungo un percorso radiale da a

a b,

r̂ d r r̂

lo spostamento

p infinitesimo p

può essere scritto come ( versore

diretto dalla carica puntiforme a quella di prova, variabile

dr

infinitesima posizione radiale).  1 q



Dato che il campo elettrostatico generato da è ˆ

q E r

  2

4 r

0

   

    r

r r 



b b b

b

b   q q q q q q

d 1 1 1

r

q

    

 



     

   

0 0 0

ˆ ˆ d

F l E l r r r

d q d q 

 

 



       

0 0 



2 2

   

4 4 4 4

r r r r

r r

0 0 0 0 a b

a a r r a

a a

Energia Potenziale Elettrica (2)

Energia Potenziale di un punto materiale carico di prova nel campo di una carica

puntiforme

Se si sposta la carica di prova lungo il percorso come in figura,

figura

q aijb

ijb

0

tenendo conto che i tratti e sono radiali mentre il tratto è un

ai jb ij

arco di cerchio , il lavoro compiuto dalla Forza Elettrica, tenendo

conto che , è

r = r

i j

       

j

b i b

   

       

F d l F d l F d l F d l

a a i j  

   

q q q q q q

1 1 1 1

1 1

 

 

 

   

  

0 0 0

0

 

 

 

     

   

4 r r 4 r r 4 r r



0 a i 0 j b 0 a b

Per questo percorso che comprende tratti radiali e tratti circolari,

circolari il lavoro compiuto dalla

Forza Elettrica dipende solo dalla distanza fra le cariche prima dello spostamento (r ) e

a

dopo lo spostamento (r ) . Ciò è vero qualunque sia il numero dei tratti radiali e degli

b

archi poichè i termini che contengono distanze diverse da e si elidono sempre.

r r

a b

Energia Potenziale Elettrica (3)

Energia Potenziale di un punto materiale carico di prova nel campo di una carica

puntiforme (1)

In figura è rappresentata una traiettoria di forma arbitraria

che può essere concepita come una successione di un

numero infinito di archi e di segmenti radiali infinitesimi.

Quando una carica di prova viene spostata da a lungo il

a b

percorso di forma arbitraria, il lavoro compiuto per ogni arco

infinitesimo e` nullo e quindi il lavoro totale è la somma dei

contributi derivanti da ciascuno dei tratti radiali infinitesimi.

infinitesimi

Quando questi contributi vengono sommati i termini in cui compaiono distanze diverse

e si elidono per cui per il percorso di forma arbitraria da a si ottiene

da r a b

r a b  

 

b q q 1 1

  

  

0

F l

d  

   

4 r r

0 a b

a

Ovviamente il discorso di cui sopra non vale solo nel piano ma anche nello spazio in

quanto qualsiasi linea può dividersi in tratti radiali e tratti ortogonali a quelli radiali.

Si può quindi concludere che la forza elettrostatica è una forza conservativa, dato che il

lavoro da essa compiuto è indipendente dal percorso, ma dipende solo dai punti di arrivo

e di partenza e quindi si può definire un’ Energia Potenziale Elettrostatica.

Energia Potenziale Elettrica (4)

Energia Potenziale di un punto materiale carico di prova nel campo di una carica

puntiforme

if (2)

Come noto dalla Meccanica l’energia potenziale dipende dalla posizione del punto

materiale (in questo caso carico) e la sua variazione nell’andare dal punto al punto

a b

l

lungo il percorso di forma

f arbitraria

bi i è pari

i al

l lavoro

l compiuto

i d

dalla

ll forza

f conservativa

i

cambiato di segno ovvero al lavoro di una forza che, opponendosi alle forze del campo,

sposti il punto materiale dal punto al punto in modo che il punto materiale arrivi in

a b b

senza energia cinetica,

cinetica cioè fermo .

Quindi  

 

b q q 1 1

  

     

0

U U d

F l  

 

b a  

4 r r

0 b a

a

Anche se solo le variazioni di energia potenziale hanno significato fisico, tuttavia, conviene

(V. Meccanica) scegliere una posizione di riferimento nella quale l’energia potenziale è

posta a zero per definizione.

definizione

Nel caso dell’energia potenziale elettrostatica conviene porre nulla l’energia potenziale



all’infinito, cioè , per cui

U 0

  

r

  q q 1



    0

U r F d l  

4 r

 0

 

cioè può venire interpretato come il lavoro compiuto da un agente esterno contro la

U r

forza elettrica, quando il punto materiale carico di prova viene portato da un punto molto

lontano fino ad una distanza dalla carica sorgente del campo .

q

r

Energia Potenziale Elettrica (5)

Energia Potenziale di un punto materiale carico di prova nel campo di un numero

qualsiasi di cariche puntiformi

La Forza elettrica su una carica di prova nel campo di due cariche puntiformi e

q q q

  0 1 2

che generano i campi e è data da (Principio di sovrapposizione )

E E

1 2

   

  

F q E q ( E E )

0 0 1 2



Il lavoro compiuto

p da p

per p

portare carica di p

prova da a è

a b

F

        

b b b b

   

       

F d l q ( E E ) d l q ( E d l E d l )

0 1 2 0 1 2

a a a a

puo` essere suddiviso in due contributi ciascuno dei quali indipendente dal

cammino percorso tra e

a b.

Quindi anche la somma dei contributi è indipendente dal cammino



percorso tra e e ne segu