Fisica generale - l'elettromagnetismo potenziale elettrostatico

E



 F



E q 

0

Per cui si è ottenuta una grandezza ( cioè il campo ) che dipende dalla distribuzione di

E

carica ma è indipendente da .

q 0

In modo analogo si definisce il potenziale elettrostatico come

V

U



V lim

 q

q 0

0 0

è un campo scalare in quanto è una grandezza fisica definita in tutti i punti dello

V

spazio e è uno scalare. In conclusione quindi, analogamente al campo elettrostatico,

U

Il Potenziale è un campo scalare,

scalare ed è una caratteristica di un campo elettrostatico,

elettrostatico che

esiste indipendentemente da qualsiasi carica che venga posta nel campo .

Joule

potenziale

p è il ( ) che viene chiamato (

(V)

)

L’ unità di misura del J / C Volt

SI Coulomb

J 

1 1 V

C

                  

    

  

1 2 2 1 2 3 1

V E n Q M L T Q M L T I

dimensionalmente Potenziale elettrostatico (2)

Potenziale Elettrostatico generato da una carica puntiforme e definizione di elettronvolt

Nel caso di un singolo punto materiale carico il potenziale generato da esso ad una

q V

distanza è

r 1 q



V  

4 r

0

Noto il potenziale prodotto da una distribuzione di carica, si può determinare l’energia



potenziale (riferita a ) di un punto materiale carico che è data da

U 0 q

 1

   



U x , y , z q V x , y , z

1

Nella fisica atomica e nucleare le particelle di maggiore interesse, assimilabili a punti

materiali carichi , sono i protoni e gli elettroni per i quali il valore assoluto della carica è

-19 .

C

1,6 x 10

Ciò rende

d conveniente

i t definire

d fi i un’

’ unità

ità di misura

i d

dell’energia

ll’ i chiamata

hi t elettronvolt

l tt lt

( ) , che è pari al prodotto del valore assoluto della carica dell’elettrone per un Volt:

eV    

 

    

19 19

1 eV 1

,

6 10

0 C 1 V 1

,

6 10

0 J

per cui il fattore di conversione tra Joule ed elettronvolt è numericamente uguale al

-19 .

valore assoluto della carica dell’elettrone J/eV

1,6 x 10

( elettronvolt) è l

l’energia

energia cinetica che acquista un elettrone quando attraversa una

1 eV

differenza di potenziale di .

1 V

Potenziale elettrostatico (3)

Potenziale Elettrostatico generato da un sistema di punti materiali carichi

Dall’espressione dell’energia potenziale di una carica di prova nel campo di un

q

0

numero qualsiasi di cariche puntiformi q i = 1,…, N

i N

q q



 0 i

U  

4 r



i 1

0 i

dividendola per si ottiene

q 0

il Potenziale prodotto in un punto da una distribuzione di punti materiali carichi

P N

1 q



 i

V  

4 r



i 1 i

0

( = distanza fra il punto materiale carico e il punto

r i P)

i

Potenziale Elettrostatico generato da una distribuzione continua di carica

In modo analogo all’equazione per il campo elettrico, l’equazione che dà il potenziale

p

può

ò essere trasformata in una

na equazione

eq a ione per una

na distribuzione

distrib ione continua

contin a di carica,

carica

dividendo quest’ultima in un numero infinito di cariche infinitesime e passando ad un

integrale , per cui N q

1 1 d q 1 d q

  

   

i

V lim V

     

2 2

 

4 r 4 r 4 r

N 

i 1



0 i 0 0 distr carica

distr carica

q 0

i

  





Se ( dove ( indica una densità spaziale di carica )

x, y, z)

d q x , y , z d x d y d z  

 ' ' ' ' ' '

  1 x , y , z d x d y d z



      

V x y z

, ,  

4 2 2 2

    

' ' '

x x y y z z

0 volume

distr. carica

Energia Potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme

In un campo elettrico uniforme

 

x x

 

       

V ( x ) E d l E d x E x V

0

0 0

L’

L’energia

i potenziale

t i l della

d ll carica

i puntiforme

tif positiva

iti è

U +

 

 



   

U q E x a cos V

 0 0

e l’energia potenziale della carica puntiforme negativa è

U -

 

 



    

U q E x a cos V

 0 0

Non si tiene conto dell’energia potenziale di interazione delle due cariche perchè essa

dipende dalla loro distanza che si suppone fissa per cui l’energia potenziale del dipolo è

   

   

   

             

U U U q E x a cos V q E x a cos V 2 a q E cos p E cos

  0 0 0 0

 



   p

ovvero dove è il momento di dipolo

dipolo.

U p E

L’energia potenziale di un dipolo in un campo uniforme è indipendente dalla sua posizione

e dipende dall’orientamento del momento di dipolo rispetto alla direzione del campo

x

0

L’energia potenziale è

(minima) quando il dipolo è orientato parallelamente al campo

–p E (massima) quando il dipolo è orientato in verso opposto al campo

p E

+p (nulla ) quando il dipolo è orientato perpendicolarmente al campo

0 La Differenza di Potenziale

 



Per l’ energia potenziale elettrica si è scelto per r

U 0  



ne segue che

h per il potenziale

t i l elettrostatico

l tt t ti si

i sceglie

li per r

V 0

ovvero che sia nullo per punti molto lontani dalla distribuzione di carica.

V

Comunque è importante osservare che la scelta di una posizione di riferimento è solo una questione

di comodità

dità : vedremo

d che

h nei

i circuiti

i iti elettrici

l tt i i una posizione

ii comoda

d è l

la terra.

t

Soltanto una variazione dell’energia potenziale ha significato fisico e, in corrispondenza, soltanto

una variazione di potenziale o differenza di potenziale ha significato fisico.

Se rappresenta la variazione di energia potenziale elettrica di una carica puntiforme di

U – U

b a V

prova quando viene spostata dal punto al punto la differenza di potenziale tra i punti

q a b,

0 

e è definita come

a b U U

    

b a

V V V ( per q 0 )

0

b a q 0

La differenza di potenziale tra due punti di una regione può essere determinata a partire dal

campo elettrico presente nella regione.

regione

La variazione di energia potenziale elettrica di una carica puntiforme di prova è l’opposto del

q 0

lavoro compiuto dalla forza elettrica, per cui  

b



   

U U q E d l

b a 0 a

dividendo per si ottiene la differenza di potenziale in funzione del campo elettrico

q 0  

b



   

V V E d l

b a a

Quest’ultimo integrale può essere calcolato lungo qualsiasi percorso che connetta i punti e

a b,

dato che la forza elettrica è conservativa .

Relazione fra Campo e Potenziale Elettrico (1)  

Il Potenziale in un punto , con la scelta del valore di riferimento nullo all’infinito ( )

P V ( ) 0

può essere ricavato dalla relazione   

r ( P )



  

V E d l

 

Per compiere l

l’operazione

operazione inversa, cioè trovare un

un’espressione

espressione di a partire da

E 

un’espressione nota di , si può pensare che , essendo l’integrale di linea di

V V E



cambiato di segno, sia connesso a da un qualche tipo di derivata di stesso.

V V

E

Se si considera uno spostamento

p    

ˆ ˆ ˆ

d l d x i d y j d z k

che unisce due punti di coordinate e la variazione di

a (x, y, z) b (x + dx, y + dy, z + dz)

 

potenziale è            

d V V ( x d x , y d y , z d z ) V ( x , y , z ) E d l E d x E d y E d z

x y z

Se ci si limita ad uno spostamento infinitesimo lungo l’asse x ovvero dal punto a

a (x, y, z) b

la variazione di potenziale è

(x + dx, y, z)   

d V V ( x d x , y , z ) V ( x , y , z )

in questo caso solo la variabile viene incrementata mentre le variabili e restano

x y z

costanti, per cui il differenziale si riduce a quello della funzione di una variabile che è

f x

d ( )



d f d x

d x

Tuttavia , p

poichè il p

potenziale è una funzione delle tre coordinate e la derivata

x, y z,

coinvolta nel differenziale è la cosiddetta “derivata parziale ” di rispetto a , cioè la

V x

derivata della funzione quando solo viene incrementata di mantenendo fisse e

V x dx y z.

Relazione fra Campo e Potenziale Elettrico (2)



V

   

È dunque d V V ( x d x , y , z ) V ( x , y , z ) d x



x

D’altro canto, poichè esiste solo un incremento nella coordinata , deve essere

x

 

    

d V E d l E d x 

x V

 

per cui,

cui confrontando le due relazioni,

relazioni deve essere E 

x x

 

V V

   

analogamente per le componenti e E E

y z 



y z

y z



Le componenti di sono quindi date dalle derivate parziali di cambiate di segno.

V

E    

Il campo elettrico è dunque V V V

   

ˆ ˆ ˆ

E i j k

  

x y z 

Per definizione il vettore gradiente ( ) di una funzione scalare è il vettore

grad ( x, y, z )

  

  

che ha per componenti (in coordinate cartesiane) per cui si può scrivere

, ,

  

x y z

  

E grad V

Il campo elettrostatico è dunque uguale al gradiente del potenziale cambiato di segno

Spesso si fa uso dell operatore vettoriale “nabl