Misure statiche di lunghezze su un blocchetto a forma di parallelepipedo

MAHR MITUTOYO SHAN

Marca 16 DN inoxyd / /

Modello 150.00 mm 25.00 mm 10 mm

Fondo scala nominale 153.25 mm 26.00 mm 10 mm

Fondo scala reale 0.05 mm 0.01 mm 0.01 mm

Risoluzione ( r )

Incertezza ( r / 2√3 ) 0.014 mm 0.003 mm 0.003 mm

Stato di taratura data non indicata

Dati raccolti Misurazione lato b con Misurazione lato a con Misurazione lato c con

numero micrometro (mm) comparatore (mm) calibro (mm)

misurazioni Incertezza ± 0.003 mm Incertezza ± 0.003 mm Incertezza ± 0.014 mm

1 19,91 29,94 30,00

2 19,91 29,92 30,00

3 19,91 29,95 30,10

4 19,91 29,95 30,10

5 19,90 29,95 30,20

6 19,91 29,94 30,00

7 19,91 29,95 30,10

8 19,90 29,93 30,10

9 19,90 29,95 30,00

10 19,91 29,95 30,00

11 19,91 29,92 30,10

12 19,91 29,93 30,00

13 19,91 29,94 30,00

14 19,91 29,94 30,10

15 19,91 29,92 30,00

16 19,92 29,95 30,00

17 19,91 29,95 30,00

18 19,91 29,95 30,00

19 19,90 29,96 30,00

20 19,90 29,94 30,00 5

Determinazione dell’incertezza standard di tipo B

La stima della misura con incertezza di tipo B si ottiene considerando una sola misurazione, per

esempio la prima:

- lato a: 29.94 mm

- lato b: 19.91 mm

- lato c: 30.00 mm

L’incertezza risulta pari alla deviazione standard relativa ad una distribuzione rettangolare di

probabilità definita nell’intervallo dato dalla risoluzione dello strumento. Pertanto si ha che

l’incertezza di tipo B è pari a:

√3.

u(x ) = r / 2

1

Dove r è la risoluzione. Utilizzando lo stesso foglio di lavoro di Excel in cui sono stati raccolti i dati

possiamo calcolare:

INCERTEZZA TIPO B (mm)

Incertezza lato b = 0,00289

Incertezza lato a = 0,00289

Incertezza lato c = 0,01443

In base a questo criterio, la stima delle tre dimensioni del blocchetto è:

- lato a: 29.940 mm ± 0.003 mm

- lato b: 19.910 mm ± 0.003 mm

- lato c: 30.000 mm ± 0.014 mm

Determinazione dell’incertezza standard di tipo A

La stima della misura è ottenuta tramite uno studio statistico di tutte le letture prese in laboratorio.

La stima è la media aritmetica dei dati raccolti durante l’esercitazione:

1 



x x k

n x

x

dove è la media, n è il numero delle letture, e è il valore della k-esima misurazione.

k

Valor medio delle misure del lato a = 29,942 mm

Valor medio delle misure del lato b = 19,908 mm

Valor medio delle misure del lato c = 30,040 mm

L’incertezza standard Quest’ultimo si ottiene

x

è rappresentata dallo scarto tipo della media s( ).

dallo scarto tipo della popolazione s .

x

 

1 

  2

s x x



x i

n 1

Scarto tipo della popolazione lato a = 0,01152 mm

Scarto tipo della popolazione lato b = 0,00510 mm

Scarto tipo della popolazione lato c = 0,05831 mm 6

Lo scarto tipo della media, che rappresenta l’incertezza standard A, si ottiene:

s

  x

u ( x ) s ( x ) n

Scarto tipo della media lato a =

(inc.A) 0,00258 mm

Scarto tipo della media lato b =

(inc. A) 0,00114 mm

Scarto tipo della media lato c =

(inc. A) 0,01304 mm

Confronto tra l’incertezze di tipo A e B

Per tutte e tre le dimensioni del blocchetto, sono stati ottenuti dei valori di incertezza di tipo A

inferiori rispetto alle corrispondenti del tipo B. Questa considerazione è sufficiente per decidere di

utilizzare i valori del secondo tipo perché più affidabili. È comunque utile analizzare gli istogrammi

relativi alle frequenze delle misure per vedere come sono distribuite. Se la frequenza massima è

superiore al 30%, la distribuzione delle probabilità non è di tipo gaussiano e quindi l’incertezza di

tipo A non può essere considerata.

Come si può osservare dai grafici, la frequenza relativa massima supera abbondantemente la soglia

del 30% per tutte le dimensioni del blocchetto.

Frequenze assolute delle misurazioni condotte con il

micrometro del lato b

15

assolute 10

frequenze 5

0 18,98 18,99 19,90 19,91 19,92 19,93 19,94

Frequenze assolute delle misurazioni condotte con il

comparatore del lato a

10

assolute 8

6

frequenze 4

2

0 29,90 29,91 29,92 29,93 29,94 29,95 29,96 29,97 29,98

Frequenze assolute delle misurazioni condotte con il

calibro del lato c

assolute

14,00

12,00

10,00

8,00

frequenze 6,00

4,00

2,00

0,00 0 5 0 5 0 5 0 5 0

,9 ,9 ,0 ,0 ,1 ,1 ,2 ,2 ,3

29 29 30 30 30 30 30 30 30 7

Frequenze relative delle misurazioni condotte con il

micrometro del lato b

0,80

0,70

0,60

frequenze 0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,00 18,98 18,99 19,90 19,91 19,92 19,93 19,94

Frequenze relative delle misurazioni condotte con il

comparatore del lato a

0,50

0,40

frequenze 0,30

0,20

0,10

0,00 29,90 29,91 29,92 29,93 29,94 29,95 29,96 29,97 29,98

Frequenze relative delle misurazioni condotte con il

calibro del lato c

0,70

0,60

0,50

frequenze

0,40

0,30

0,20

0,10

0,00 29,90 29,95 30,00 30,05 30,10 30,15 30,20 30,25 30,30 8

Calcolo dell’incertezza combinata standard ed estesa,

l’incertezza di tipo B

considerando

L’incertezza combinata standard va calcolata sia per il volume, sia per la massa volumica, sia per il

momento d’inerzia, dato che tutti sono funzioni di più grandezze e, di conseguenza, di più misure

con relativa incertezza standard. Considerato il tipo di misure effettuate, per la stima dell’incertezza

combinata si ricorre all’utilizzo della legge della propagazione delle incertezze per grandezze

incorrelate: 2

 



n f

  

 2

u ( y ) u ( x )

 



c i

 

x



i 1 i 3

V = a ∙ b ∙ c = 29.940∙19.910∙30.000 = 17883.162 mm

2 2 2

(V) = √ (b∙c∙u(a)) + (a∙c∙u(b)) + (a∙b∙u(c))

u c 2 2 2 3

(V) = √ (19.910∙30.000∙0.003) + (29.940∙30.000∙0.003) + (29.940∙19.910∙0.014)

u = 8.951 mm

c 3

V = (17883.16 ± 8.95) mm

3 3 4

= 1/12 ∙ c ∙ b 1/12∙30.000∙(19.910)

J = =19731.213 mm

xx 3 2 2 2

) = √ (1/12∙ ∙u(c)) + (1/4∙b ∙c∙u(b))

u (J b

c xx 3 2 2 2 4

) = √ (1/12∙ ∙0.014) + (1/4∙(19.910) ∙30.000∙0.003)

u (J (19.910) = 12.819 mm

c xx 4

J = (19731.21 ± 12.82) mm

xx

3 -3 3 3

d = M / V =140g/17883.162mm = 7.828593∙10 g/mm = 7828.593 Kg/m

2 2 2

= √ (1/V ∙ u(M)) ∙

u (d) + (-M / V u(V))

c 2 2 2 3

(d) = √ ((1/17883.162) ∙ ) ∙

u 5.000) + ((-140.000 / (17883.162) 8.951) = 0.0002796 g/mm

c 3

=279.62Kg/m -3 3 3

d = (7.828 ± 0.279 )10 g/mm = (7828 ± 279) Kg/m

Oppure è possibile applicare la formula semplificata dell'incertezza relativa combinata, valida per

produttorie del tipo:

m



 m

y x i

i



i 1

dove l'incertezza relativa è definita come u = u / x :

i,rel i i

 

n



  2

u ( y ) m u

c , rel i i , rel



i 1

calcolo le incertezze relative dei tre lati del blocchetto: 9

u(a) = 0.003 / 29.940 = 0.00010

rel

u(b) = 0.003 / 19.910 = 0.00015

rel

u(c) = 0.014 / 30.000 = 0.00047

rel 2 2 2

√ (u(a)

u (V) = ) + (u(b) ) + (u(c) )

c,rel rel rel rel

2 2 2

(V) = √ (0.00010)

u + (0.00015) + (0.00047) = 0.00050

c,rel 3

V = 17883.16 mm ± 0.05%

2 2

) = √ (u(c)

u (J ) + (3∙u(b) )

c,rel xx rel rel

2 2

) = √ (0.00047) + (3∙0.00015)

u (J = 0.00065

c,rel xx 4

J = 19731.21 mm ± 0.065%

xx

2 2

(d) = √ (u(M)

u /M) + (u(V) /V)

c,rel rel rel

2 2

(d) = √ (5.000/140.000)

u + (0.0005) = 0.0357

c,rel -3 3

d = 7.828∙10 g/mm ± 3.5%

Per il calcolo dell’incertezza combinata estesa, quindi per determinare il fattore di copertura k, si

applica la formula di Welch-Satterhwaite, poiché abbiamo a disposizione pochi dati sperimentali.

4

u ( y )

c



v

eff  

 4

 

 

f

  

 

u x / v

i i



 

 

x

 

i 4 4 4 4

∙ v / ((b∙c∙u(a)) + (a∙c∙u(b)) + (a∙b∙u(c))

v (V) = ( u (V) ) )

eff c i

4 4 4

∙ 19 ) / ((19.910∙30.000∙0.003) + (29.940∙30.000∙0.003)

v (V) = ( 8.951

eff 4

+(29.940∙19.910∙0.014) ) =

= 121966.294 / 4913.729 = 24.821 ≈ 25

4 3 4 2 4

∙ v ) / ((1/12∙ ∙u(c)) + (1/4∙b ∙c∙u(b))

v (J ) = ( u (J ) b )

eff xx c xx i

4 3 4 2 4

∙ 19) / ∙0.014) + (1/4∙(19.910) ∙30.000∙0.003)

v (J ) = ( 12.819 ((1/12∙ (19.910) ) =

eff xx 13517.057 = 37.957 ≈ 38

= 513062.403 /

4 4 2 4

∙ v ∙ u(M)) ∙ u(V))

v (d) = ( u (d) ) / ((1/V + (-M / V )

eff c i 4 4 2 4

∙ 19 ∙ 5.000) ) ∙ 8.951)

v (d) = (0.0002796 ) / (((1/17883.162) + ((-140.000 / (17883.162) ) =

eff 10

-16 -15

=1161.187 ∙ 10 6.11∙ 10 = 19.002 ≈ 19

/

Possiamo ora determinare i valori di k in base livello di confidenza, cioè la probabilità di copertura,

che si desidera per ognuna delle tre grandezze calcolate.

v 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

(V)

eff

25 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.787

Se il livello di confidenza richiesto è, per esempio, del 95% =0.95, k è 2.060 e la misura del volume

3 3

è: V = (17883.16 ± 8.95∙ k) mm = (17883.16 ± 18.44) mm

v J 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

( )

eff xx

38 0.126 0.255 0.388 0.529 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.704

Se il livello di confidenza richiesto è, per esempio, del 95% =0.95, k è 2.021 e la misura del

4 4

d’inerzia principale è:

momento J = (19731.21 ± 12.82∙ k) mm = (19731.21 ± 25.91) mm

xx

v 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

(d)

eff

19 0.127 0.257 0.391 0.533 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.861

Se il livello di confidenza richiesto è, per esempio, del 95% =0.95, k è 2.093 e la misura della massa

-3 3 3 -3 3

(7.828 ± 0.279∙k = (7828 ± 279∙

volumica è: d = )10 g/mm k) Kg/m = (7.828 ± 0.584 )10 g/mm

3

= (7828 ± 584) Kg/m combinata standard ed estesa,

Calcolo dell’incertezza

l’incertezza di tipo A

considerando dell’incertezza combinata standard per il volume, per