Appunti Misure meccaniche

TERMOMETRO A BULBO

Termometro a bulbo è uno strumento del primo ordine e le sue caratteristiche dinamiche si

ripercuotono a tutti i termometri.

Esse è composto da un bulbo, generalmente di vetro, che contiene il fluido termometrico ed è

collegato a un tubo capillare. La caratteristica del fluido termometrico, il nostro sensore, è che si

varia la sua temperatura, esso si dilata, aumentando il suo livello all’interno del capillare.

Pertanto, la grandezza in ingresso di questo strumento è la temperatura del fluido Ti, mentre la

grandezza in uscita è lo spostamento del fluido nel capillare xo.

Le equazioni che dovremo considerare per questo strumento sono due:

1. L’aumento della temperatura del fluido comporta una dilatazione/espansione del fluido (legge

di espansione termica del fluido): dove è misurata in metri su gradi Celsius

=

0

2. Legge dello scambio termico, cioè come il calore/energia che si trova nell’ambiente esterno si

trasmette al fluido.

In particolare, La relazione che lega la temperatura del fluido da misurare, Ti, alla temperatura

del fluido termometrico, Tb , si ricava dall’applicazione del principio di conservazione dell’energia

in un istante infinitesimo dt di tempo, cioè: − = ⅇⅇⅈ ⅈⅈ

Sotto l’ipotesi che sia adiabatica, cioè non abbiamo flusso che esce dal tubo, l’equazione

diventa: ( )

− − 0 =

Nell’equazione sopra, i termini al suo interno descrivono:

U è il coefficiente di scambio termico per conduzione, cioè il coefficiente di trasmissione termica

• sulle pareti del bulbo

è la superficie laterale del bulbo

•

è la massa del fluido termometrico

•

C è il calore specifico del fluido termometrico

• N.B: Essendo il calore specifico moltiplicato per la massa, mi indica la capacità termica del

fluido

per indicare che il calore interno del bulbo viene aumentato in proporzione alla variazione

•

infinitesima della temperatura del fluido termometrico

Dividendo la legge dello scambio termico per dt e separando la temperatura d’ingresso e quella

ⅆ

del fluido termometrico otteniamo

= +

ⅆ

Sostituendo il valore di Tb che troviamo dalla prima equazione otteniamo:

0

( = )

ⅆ

➔

0

= + + =

0 0 0

ⅆ

Dividendo tutto per il coefficiente di xo (derivata di ordine zero dell’uscita): da

+ =

0 0

cui capiamo facilmente che la costante di sensibilità statica (K) è uguale a , mentre la costante

di tempo () è pari a

In conclusione, per avere una risposta dinamica veloce dovremo avere una costante di tempo

piccole e per ottenerla dovremo:

a) diminuire densità e calore specifico del fluido termometrico, ma essendo delle proprietà di esso

stesso, per cambiarle occorre cambiare il fluido

b) diminuire il volume del bulbo, ma se il volume del bulbo è piccolo sarà piccola anche la sua

sezione. Pertanto, è controproducente ed, inoltre, esso diminuisce anche la costante si sensibilità

statica

c) aumentare il coefficiente di scambio termico per conduzione, che dipende dal fluido

termometrico ed anche dal fluido in cui è immerso il termometro

SECONDO ORDINE 2

ⅆ ⅆ

L’equazione differenziale di uno strumento del secondo ordine è del tipo:

+ + =

2 1 0 0

2

ⅆ ⅆ

Volendo che il coefficiente della derivata di ordine zero dell’uscita sia unitario, dividiamo tutto per

a , e sostituita a d/dt = D, ottenendo: 2

2 1 0

+ + =

0

0 0 0

A questo punto possiamo definire le costanti dinamiche e quella statica:

à ⅆ ⅆ′

Costante di sensibilità statica: con unità di misura pari a

❖ 0

= à ⅆ ⅆ′

0 1

Frequenza naturale non smorzata o frequenza di risonanza ( ): essendo che allora tale

❖ 2 =

2

0

costante dinamica sarà definita come = /

√

0 2

Rapporto di smorzamento (): dato dal rapporto dello smorzamento effettivo del sistema ( ) e

❖ 1

lo smorzamento critico. Quest’ultimo è il valore di che manda il determinate dell’equazione di

1

secondo ordine a zero e vale: . Quindi il rapporto di smorzamento sarà pari: 1

2√ =

0 2 2

√ 0 2

Nel caso in cui:

a) siamo in condizione di smorzamento critico

= 1

b) siamo in condizioni sotto-smorzate (lavoreremo sempre con strumenti di questo tipo)

< 1

c) siamo in condizioni sovra-smorzate

> 1

Partendo dalla definizione del rapporto di smorzamento dobbiamo ricavarci il termine da

√ 2

sostituire a . In particolare:

1 1 1 2 2

= 2 = 2 =

√

2√ √

0 0 0 2 0 0

Riscrivendo l’equazione in termini di costanti dinamiche e statiche, anche mettendo in evidenza

2

2

qo, otteniamo: ( + + 1) =

2

Il prossimo passaggio è la definizione della funzione di risposta:

2

2

a) Funzione di trasferimento operazionale: 0 () = / ( + + 1)

2

2

b) Funzione di riposta in frequenza: 0 (ⅈ) = / (− + 2ⅈ + 1)

2

ℎ

Per studiare la funzione di risposta in frequenza dobbiamo graficarla, e, quindi, calcolare ampiezza

e fase. Però, prima dobbiamo individuare parte reale e immaginaria e per farlo occorre togliere

l’unità immaginaria dal denominatore (razionalizzare):

2 2

2

− − 2ⅈ − − 2ⅈ

(1 ) (1 )

1− − 2ⅈ 2 2

2

ℎ ℎ

ℎ

∗ = =

2 2 2 2

2 2

2 2

1 − + 2ⅈ 1 − − 2ⅈ − − (2 ) − + (2 )

(1 ) [− ] (1 )

2 2

2 2

ℎ ℎ

ℎ ℎ

Dalla funzione di risposta in frequenza razionalizzata, a meno delle parti in comune (costante di

sensibilità statica e denominatore), avremo che:

2

Parte reale:

 ⅇ = 1 − 2

ℎ

Parte immaginaria:

 = −2

A questo punto: 2 2

2 2

2 2

Ampiezza: √(1 /√(1

 2 2

(ⅈ)| = + = − ) + (2 ) = − ) + (2 )

| √ⅇ 2 2 2

2

2

ℎ ℎ

+(2 )

(1− )

2

ℎ

2

Fase: 

 (ⅈ) = arctan = arctan (−2 /1 − )

2

ℎ

Per graficare ampiezza e fase andiamo a studiare dei punti sicuri della funzione:

1. ➔

= 0 =

| |

➔ = 0

2. ➔

→ ∞ → 0

| |

➔ =

3. ➔

= =

| |

2

➔ = arctan(−∞) = −

2

Nella realtà, non ci troveremo mai nella conduzione di inesistenza dello smorzamento (grafico

nero). Quindi per graficare correttamente l’ampiezza ad considereremo diversi casi del

=

valore del rapporto di smorzamento:

Caso di smorzamento critico (

➢

= 1)➔ =

| |

2

Caso di sotto-smorzamento (0 ,cioè

➢ ➔

< < 1) >

| |

troviamo un picco

Noi siamo interessati ad avere un’ampiezza che tende ad essere

come quella dello strumento di ordine zero (cioè costante) il più a

lungo possibile.

Quindi sarà più utile avere uno strumento sotto-smorzato. Questo

in quanto a parità di , lo strumento sotto-smorzato mi permette

di lavorare ad un più ampia.

In termini di fase, se lo strumento è piccolo possiamo dire che è quasi sempre nulla.

Se siamo interessati ad uno strumento più performante, ma

sempre sotto-smorzato, dovremo considerare una frequenza

naturale maggiore ( e per aumentare il suo valore

> )

1

occorrerà aumentare a0 oppure diminuire a2. Se scegliessimo la

prima opzione (aumento di a0) avremo una diminuzione della

sensibilità statica K

TARATURA DINAMICA STRUMENTO DEL SECONDO ORDINE SULLA BASE DELLA RISPOSTA

ALL’INGRESSO AD IMPULSO

L’ingresso canonico che considereremo per questa taratura dinamica è l’ingresso a impulso.

L’impulso può essere definito in molteplici modi, ma in maniera teorica è un segnale che:

0 <0 con T periodo dell’impulso

= { / 0 < <

0 >

Matematicamente definiamo l’impulso come: Questo significa che, dovendo essere

= lim /

→0

l’area della funzione sempre costante, allora tanto minore è la durata dell’impulso, tanto maggiore

sarà l’ampiezza dell’i