Minimizzazione dei costi

La posizione grafica della soluzione

viene espressa, come sempre, dalla condizione di tangenza edalla condizione (5). Il sistema delle 3 equazioni (3) (4) (5) risolve le tre incognite z , z , λ in funzione1 2dei parametri.

Nel in questo caso Cobb-Douglas si ottiene (con i simboli sembra complicato, ma con i numeri nonlo è!) ¶µ µ ¶β βα wα+β α+β 12∗ (w , w , y, α, β) = yz α+β1 21 β w1¶ µ ¶µ α αwβ α+β α+β 11∗z (w , w , y, α, β) = y α+β1 22 α w2 w1∗λ (w , w , y, α, β) = µ³ µ³¶ ¶1 2 ´ ´α-1 ββ α1 1α+β α+βw wα y · y2 1α+β α+βw w1 2βα1 1−(α+β)α+β α+βw= w y α+β1 2α∗ ∗

*C = w z + w z1 21 2à !¶ ¶µ µ ¶ µ µ ¶β β α αα w β wα+β α+β α+β α+β 12 1= w + w y α+β1 2β w α w1 2Sostituiamo i parametri.α = 1/2; β = 1/4, p = 4, w = 5, w = 10, y = 11 2¶ ¶ ¶µ µµ ¶ µβ β 0.25 0.25α 1/2w 10α+β α+β 0.75 0.751 4 42∗ (w , w , y, α, β) = y = y = 1.587 · 1 = 1.587z α+β 3 31 21 β w 1/4 51 ¶ ¶¶ µµ µα 0.5 0.5 25w 1/4 1α+β 0.75 0.751 34 41∗z (w , w , y, α, β) = y = y = · 1 = 0.396α+β 3 31 22 w 1/2 10 22 βα1 11−(α+β) 1−(0.75)0.5 0.25 4∗ α+β α+βw 5(w , w , y, α, β) = w y = 19 y = 15.6 · 1 = 15.6λ α+β 0.75 0.75

0.75 31 2 1 2α 1/2βα 1∗ α+β α+β= 2w w y = 5 · 1.587 + 10 · 0.39 = 11.835C α+β1 2

Possiamo disegnare il grafico.

Retta di isocosto 511.835 − z=z2 110 10

Vincolo ”isoquanto” esplicitato per z2 ¶µ yβz =2 αz11y 1βz = =2 2α/β zz 11221.5z2 10.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3z11.1

Statica Comparata

Tutte le soluzioni si muovono al variare dei parametri.(w /w ) è la curva di domanda del primo input al variare del prezzo

In particolare le soluzioni z1 2 1 variabile la soluzionerelativo. Fissando tutti i parametri al livello del paragrafo precdente e lasciano w1descrive appunto la funzione di domanda¶ ¶µ ¶ µ ¶µ µβ β 0.25 0.25w 10α 1/2α+β α+β 0.75 0.751 42∗z (w , w , y, α, β) = y = 1α+β 31 21 β w 1/4 w1 11412108642 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4∗z (w ),per y =

1 e y = 2 (fino)11*Stesso per z .2Vediamo il grafico della funzione di costo, tenendo tutti paramentri fissi ad eccezione di y.* * *= w z + w zC 1 21 2" #¶ ¶µ µ ¶ µ µ ¶β β α αα w β wα+β α+β α+β α+β 12 1= w + w y α+β1 2β w α w1 2" #¶ ¶ ¶ ¶µ µµ µ0.25 0.25 0.5 0.510 51/2 1/40.75 0.75 0.75 0.75 1 1= 5 + = 8. 333 9yy 0.75 0.751/4 5 1/2 1032015C(y)1050 0.5 1 1.5 2yRisulta che l’esponente al quale è elevato il livello di produzione y è il reciproco dellaOsservazione 1somma degli esponenti della funzione di produzione (1/α + β). Quindi se la funzione di produzione èa rendimenti di scala decrescenti (e.g. concava), la funzione di costo sarà convessa e viceversa.z = z .1.2 Caso con 1 input fisso: 2 2Il problema diventa C (z , z ; dati: y, p,

w , w , α, β) = w z + w zmin 1 2 1 2 1 1 2 2z ,z1 2 βαs.a. y = z z1 2∂L = 0 non ha senso perché y è costante∂y∂L βα−1: −w + λαz · z = 01 21∂z1∂L = 0 non ha senso perché z è costante2∂z2∂L βα: y − z z = 01 2∂λPraticamente abbiamo una sola vera incognita z che dobbiamo ricavare dal vincolo e, se vogliamo1.ricavare λ, sostituiamo i dati nella ∂L/∂z1z = 1 e risolviamoAggiungiamo ai parametri 2α = 1/2; β = 1/4, p = 4, w = 5, w = 10, y = 1, z = 11 2 2Calcolo: invertendo il vincolo 1/αy∗ (y, z ) = =1z 21 β/αz 2dove la dipendenza dai prezzi è sparita perché la scelta ”deve” essere sull’isoquanto, mentre la scelta”libera” era funzione dei prezzi.∗ ∗C (w , w , y, z ) = w z (y, z ) + w z = 5 · 1 + 10 · 1 = 15 − in grassetto nel grafico1 2 2 1

2 2 21 4