Metodi di Calcolo delle Strutture - esercizi svolti

STRUTTURE "CLASSICHE" (PV/LE)

• TEMA ESAME 29/01/2018

A

3W

3b

4b

VA F

C

D

q=F/A

w=f/b

• Analisi cinematica

gdl=3:1=3

gV=3+1=4

(A) (D)

gV>gdl = struttura iperstatica

analisi di stabilitá:

NO CIR

CIR asta (1) dovrebbe trovarsi su asse carrello

linea puntonetto

vincolato in A

CIR non definito moto = struttura non stabile

(l=i)

N° ai vincolati:

gV=gdl+l=4-3+0=1

Struttura deformata:

Asportiamo il carrello in D conservo X=Vb come iperstatica

Analisi CIR struttura deformata:

• Asta D non stabile fissata parzie al vincolato in A = R_l l=0

deformazione valida

Reazioni vincolari

Struttura vincolata:

formalmente non serve fare lo schema ad albero (porta singolarmente tutte le aste e i vincolti in evidenza le forze ynad

• Verifica sempre che la struttura deformata sia incerta

proè non non talemne

Equazioni di equilibrio:

• ΣFx = 0 ⇒ HA = 0
• ΣFy = 0 ⇒ VA + X - 8F = 0 ⇒ VA = -X - 8F
• ΣM = 0 ⇒ MA - 3Fℓ + 8gb · 5b + X · 6b = 0 ⇒ MA = 3Fℓ - 40Fb - 6Xb = -37Fb - 6Xb

Equazioni di verifica:

• ΣF_x = 0
• ΣF_y = -X - 8F + X + 8F = 0
• ΣM_BE = -37Fb - 6Xb + (X + 8F) · 6b - 3Fb + 8gb · 2Xb = 0

Nelle Eq. di verifica dell' alla rotazione bisogna scegliere un polo diverso!

Azioni interne

• Convenzioni: M_M, T_M, N_M

Tratto AK:

• ΣF_x^AK = 0 ⇒ N_AK_AB (λ) = 0
• ΣF_y^AK = 0 ⇒ -X - 8F - T = 0 ⇒ T_AB(A) = -X - 8F
• ΣM_M^AK = 0 ⇒ M - 37Fb - 6Xb - (-X - 8F)γ = 0 ⇒ M_AB (A) = 3Fb + 6X - 8Fₙ - XΔ

Tratto ABₖ:

• ΣF_x^ABₖ = 0 ⇒ -I = 0 ⇒ I_bc(z) = 0
• ΣF_y^ABₖ = 0 ⇒ -X - 8F - N₂ₖ = 0 ⇒ N_bc(z) = -X - 8F
• ΣM_M^ABₖ = 0 ⇒ M - 3Fb - 37Fb - 6X - (-X - 8F) γₖ - 4bₖ = 0 ⇒ M_bc(z) = 3Fb + 37Fb - 6Xₖb - 4Xₖ - 32Fb - 8Fₖb + 2Xb

Analisi sezione (trave AB, punto A)

• N_z = 0 N
• T_y = T = ⁴⁷⁸/₆ * F_z = 40266 N
• M_x = H = ¹²⁵/₂₄ F_b = 287619.0 Nmm

A_tot = 24 + 12 + 12 + 31 + 48 + 12 = 1236 mm²

V_g = ^{A₁v_c1 + A₂v_c2 + A₃v_c3}/_Atot = = 24 * 12 * 6 + 12 * 31 * (12 + 15.5) + 48 * 12 * (12 + 31.16) / 1236 = 32,51 mm

I_xx = [^{24 * 123}/₁₂ + 24 * 12 (v_c - 6)²] + [^{12 * 313}/₁₂ + 12 * 31 (v_c - 27,5)²] + [^{48 * 123}/₁₂ + 48 * 12 (v_c - 49)²] = 408523 mm⁴

S* = 24 * 12 [6 - v_c1] + 12 * 1 (12,5 - v_c1) = -7385 mm³

Sforzi: σ_zz (V) = ^N_z/_A* * Hx / I_xx * y = = -287619.0 * y / 408523 = -7,04 * y

Tutte le giacenti sono riportate a quella del baricentro σ_zz (v_e - 16) = 7,04 [0 - v_c1] = 223,8 MPa σ_zz (v - 55 - v_c1) = 7,04 (55 - v_c1) = 153,3 MPa ⇨ σ_m = 228,9 MPa σ_rc = σ_zz (v - 13 - v_c1) = 7,04 (13 - v_c1) = 137,4 MPa

γ_c = ^{π_zy I_x}/_Ixx = ^{T_y * S*}/_{Ix * Ixx} = ^{-40266 * (-7385)}/_{112 * 408523} = 6,853 MPa

⇒ σ_mixer = √(σ²_c + 3γ²_c) = √(137,4² + 3 * 6,853²) = 137,9 MPa

Equazioni di equilibrio

Asta ₂

• ∑F_x⁽²⁾ → 0 → H_B=0
• ∑F_y⁽²⁾ → 0 → V_B-V_C=0 → V_B=V_C=¹⁶/₅F-^X/_5b
• ∑M_A⁽²⁾ → 0 → X-M_C=0 → M_C=X

Asta ₁

• ∑F_x⁽¹⁾ → 0 → H_A=0
• ∑F_y⁽¹⁾ → 0 → V_A+10q_b-V_C=0 → V_A=-³⁴/₅F+^X/_5b
• ∑M_A⁽¹⁾ → 0 → 10q_b² + 6Fb + X + V_C·5b = 0 → V_C=-¹⁶/₅F-^X/_5b

Equazioni di verifica

• ∑F_x⁽²⁾ → 0 ≡ 0 ✓
• ∑F_y⁽²⁾ → -¹⁶/₅F-^X/_5b-(-¹⁶/₅F-^X/_5b)≡0 ✓
• ∑M_C⁽²⁾ → X-X ≡ 0 ✓
• ∑F_x⁽¹⁾ → 0 ≡ 0 ✓
• ∑F_y⁽¹⁾ → ³⁴/₅F+^X/_5b+10F+¹⁶/₅F+^X/_5b≡0 ✓
• ∑M_C=(-³⁴/₅+^X/_5b) · 5b-10q_b²+4b+6Fb+X ≡ 0 ✓

N_z = 0 N

T_y = T̃ = ¹²¹/₄₀ F_z = 2692 N

M_x = M̛ = ⁻⁴¹/₈ F_z = 1961338 N·mm

O

σ_zz(Y) = ^N_z/_A + ^M_x/_Ixx · y = −6,954 • Y

σ_zz(y = 0 - Y_G) = 6,954 (0 - Y_G) = 173,2 MPa

σ_zz(y = 55 - Y_G) = 6,954 (55 - Y_G) = 209,3 MPa

σ_c = σ_zz(Y = 7 - Y_G) = 6,954 (7 - Y_G) = 124,6 MPa

σ_c = -^T_y/_Ixx • S^x = -²⁶⁹²/₆• (5632) = 8,96 MPa

σ_t = 282052

σ_mises = √(σ_c² + 3σ_c^t2) = √(124,6² + 3 • 8,96²) = 124,9 MPa

• Determinare iperstática mediante LE

1. M_^{(1)}(z) = + ^M_AB(z) + ^{(5 F_z)}/_2•EJ = 1/^{E_I(5 F_z2/_6b) + C₁}
2. M₃(z) = 1/^{E_I(5 F_z324b) + C₁₂ + C₂}

• Azioni interne

• ΣF_x^AK=0 → T+F_x2b-9z=0 → F_z=F_2b
• ΣF_y^AK=0 → N_z6b → N_AB(z)=-^X⁄_6b
• ΣM^AK=0 → M⁹²⁄₂ → X(F_2bz)=0
• M_ao(z)=^F_z⁄_2bX-F_z+^X⁄_2b

• ΣF_x^ABK=0 → N-2gb+^F⁄_26b=0
• N_BC(z)=2^{&frasl_2b≥F2bX}
• ΣF_y^ABK=0 → T=0 → ^[BC(x)]⁄_X⁄_6b
• ΣM^ABK=0 → M_2gb=(F_X⁄_6b+^X⁄_2b=(2gbX)
• M_oc(x)=25fb+X=^X⁄_6b

• ΣF_x^ABCK=0 → T-2gb+^F⁄_26b=0
• N_C0(z)=F^⁄_2b
• ΣF_y^ABCK=0 → X^⁄6b-N=20 → N_CD(z)=^X⁄_6b
• ΣM^ABCK=0 → M-W-2gb3b+F_2b(2b-x)+X=0
• M_{2b^{&frasl2fbX⁄2bX}}
• M_CD(z)=Fb-F_2z+^X⁄₂+X_2b