Matematica finanziaria per le applicazioni economiche - esercizi

MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE - (n-z)

Test di autovalutazione 20 Marzo 2010

Cognome Nome ..............................Matricola .......................

Firma ...........................

1) (6 p.ti) Tre anni fa ho depositato in un conto corrente C₀ Euro. Dopo un anno ho ritirato C₁ euro. Quanti soldi posso ritirare oggi se il conto paga interessi con tasso annuo r secondo la legge

1. degli interessi semplici
2. degli interessi composti con capitalizzazione degli interessi mensile
3. degli interessi composti continuamente

[C₀ = 100, C₁ = 50, r = 8%]

Il valore del conto oggi è V = C₀m(0, 3) - C₁m(1, 3)

dove m(0, 3) e m(1, 3) rappresentano i montanti tra 0 e 3 e tra 1 e 3.

Nel caso interessi semplici:

V = C₀(1+3r) - C₁(1+2r) = 66€

Interessi composti con capo mensile:

V = C₀(1+^r/₁₂)^3*12 - C₁(1+r/₁₂)^2*12 = 68.38€

Interessi composti contin.

V = C₀ e^3r - C₁ e^2r = 68.45€

2) (4 p.ti) Calcolare il TIR del flusso (-10, 5, 5, 5, 5, 15)|(0, 1, 2, 3, 4).

Il flusso corrisponde a un titolo a cedola fissa pari a 5, con capitale 10, quotato alla pari. Quindi il TIR coincide con il tasso cedolare:

TIR = ⁵/₁₀ = 50%

Erano le cinque della sera

Erano le cinque in punto della sera.

Un ragazzo portò la bianca lenzuola

erano le cinque della sera.

Una sporta di calce già premunita

erano le cinque della sera.

Lo piú con degli orciuoli di fiele

erano le cinque della sera.

Il resto era morte e solo morte

erano le cinque della sera.

Il vento portò via i cotoni

erano le cinque della sera.

E l'ossido seminò cristallo e nichel

erano le cinque della sera.

Già combattono il leopardo e il colombo

erano le cinque della sera.

E una coscia con una desolata corne

erano le cinque della sera.

Saccheggiando fanciulli venne la pioggia

erano le cinque della sera.

Erano le cinque in punto della sera.

Un angolo d'ombra e un angolo d'ombra.

Erano le cinque della sera.

Si spaccò il calcagno del vento.

erano le cinque della sera.

MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE - (n-z)

14 Giugno 2010

Cognome Nome ......................................................... Matricola ................................

Firma .........................................................

1. (6 p.ti) Quanti pagamenti sono necessari per rimborsare D euro con rate costanti semestrali di importo non superiore a K euro se il tasso di interesse annuo è 12% e la capitalizzazione degli interessi è semestrale? Riportare la prima riga del piano di ammortamento corrispondente. [D = 1000, K = 150]

Il numero di pagamenti deve essere maggiore o uguale di _x = log (1 - _r^D/_K)/log(d)

dove r = 12% = 6% e d = (1 + r)^-1

Il numero di pagamenti N necessario è per al più piccolo intero maggiore di ^x

Una volta trovato N, la prima riga del piano di ammortamento si trova con

R = D/aNr, I₁ = D ∙ r, C₁ = R - I₁

D₁ = D - C₁.

Avevano figli?

No, abbiamo preferito non averne.

E come mai ti trovavi qui da sola?

Qualche anno fa siamo andati a vivere in periferia; un posto al limite tra città e campagna, abbastanza tranquillo.

Stavamo bene insieme, ma non mi bastava: avevo bisogno dei miei spazi.

E quando potevo tornavo a casa mia, come oggi.

E adesso cosa farai?

Non lo so, non riesco neanche a immaginarlo.

MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE - (n-z)

1) (6 p.ti) Per rimborsare un debito di 1000 euro viene proposto un piano di ammortamento a un Tasso Annuo Nominale i con m rate mensili e costanti e una rata di preammortamento. Riportare l’importo della rata di pre-ammortamento R_p e della rata costante R. Calcolare il TIR y del piano di ammortamento.[i=10%, m = 14]

Il tasso mensile è τ = i/12la rata di preammortamento è R_p = τ·1000la rata di ammortamento è

R = 1000 / q_m = 1000·τ / 1 - d^-m

dove d = 1 / 1 + τ

Il TIR è il tasso annuo effettivo equivalente

y = (1 + τ)¹² - 1

2) (6 p.ti) Consideriamo due obbligazioni. L’obbligazione A ha prezzo P_A e duration D_A, l’obbligazione B ha prezzo P_B e duration D_B. Quanto denaro occorre investire in A e in B per immunizzare un'uscita al tempo T il cui valore attuale è 2500 Euro?[P_A = 95, D_A = 1, P_B = 105, D_B = 5, T = 3]

Indichiamo con x e y le quote di A e di B.Risolviano il sistema

x P_A + y P_B = 2500x D_AP_A + y D_BP_B = 3 · 2500

Il denaro investito in A è x P_A, in B è x P_B.

2)

Data la struttura dei fattori di sconto a pronti d(0,1), d(0,2), d(0,3), d(0,4) (dove il tempo è espresso in anni), calcolare

1. Il prezzo a pronti e la duration del flusso
• x_t = {10, 0, 110} t ∈ {2, 3, 4}
2. L'importo I per cui il flusso
• x_t = {-1000, I, I, 1000 + I} t ∈ {0, 1, 2, 3}

è equo (cioè ha valore nullo) in t = 0.

3. Il TAN che deve avere un titolo che paga cedole annuali e matura tra 3 anni per quotare sotto la pari.

d(0,1) = 0.98, d(0,2) = 0.97, d(0,3) = 0.96, d(0,4) = 0.955

1. Prezzo a pronti:

   V₀ = 10 d(0,2) + 110 d(0,4)

   Duration

   D₀ = (10 ⋅ 2 ⋅ d(0,2) + 110 ⋅ 4 ⋅ d(0,4)) / V₀

2. Risolv rsprtt a I:
• -1000 + I d(0,1) + I d(0,2) + (1000 + I) d(0,3) = 0
• I = (1000 (1 - d(0,3)) / ∑_k=1³ d(0,k))
3. Il tasso di parità e J = I / 1000
• quindi ogni titolo con TAN < J quota sotto la pari.

3) (5 p.ti) La costruzione di un nuovo tratto autostradale ha un costo iniziale di 10 milioni di Euro. La società realizzatrice verrà ripagata con i pedaggi dei successivi 5 anni e stima che genereranno la seguente successione di flussi di cassa (in milioni di euro)

X = (4, 4, 4, 6, 6)|(1, 2, 3, 4, 5)

Utilizzando la struttura dei tassi a pronti assegnata determinare

• La convenienza o meno dell'investimento in base al criterio del VAN.
• Il valore attuale in t = 3, secondo la dinamica basata sulle aspettative, dei pedaggi che verranno pagati in t = 4 e in t = 5.

Soluzione:

Posto dk ≡ d(0, k) = (1 + sk)^−k,

V₀ = −10 + 4(d₁ + d₂ + d₃) + 6(d₄ + d₅)

L’investimento risulta conveniente se tale valore risulta positivo. (b)Si ha,

V₃ = ^d₄/_d36 + ^d₅/_d36

7.

Rispondere alla seguente domanda 2 p.ti risposta esatta ; -1 p.to risposta errata

Quale delle seguenti situazioni, se verificata, consentirebbe certamente un arbitraggio?

• (a) Una struttura per scadenza dei tassi a pronti crescente
• (b) Una struttura per scadenza dei tassi a pronti decrescente
• (c) Una struttura per scadenza dei fattori di sconto crescente
• (d) Una struttura per scadenza dei fattori di sconto decrescente
• (e) nessuna delle precedenti

8.

(6 p.ti) Sia V(t_i) = ⁿ∑_k=1 x_k(1+i)^-t_k il valore al tempo 0, in funzione del tasso di interesse annuo i del flusso di importi positivi x₁, ..., x_n, pagati agli istanti t₁,..., t_n (tempo misurato in anni) e D(i) la sua duration. Mostrare che

V′(i) = -^D(i)/_(1+i) V(i)

Dato

V(i)= ⁿ∑_k=1 x_k (1+i)^-t_k

derivando rispetto a i si ottiene

V′(i) = - ⁿ∑_k=1 t_k x_k (1+i)^-t_k-1

per cui

V′(i) = ^-1/_(1+i) ⁿ∑_k=1 t_k x_k (1+i)^-t_k

quindi:

V′(i)/ V(i) = ^-1/_(1+i) ^{∑ t_k x_k (1+i)-t_k)/_V(i)}

V′(i)/ V(i) = ^-1/_(1+i) D(i)

dove D(i)= ^{∑ t_k x_k (1+i)-t_k)/_V(i)}

è la duration rispetto al tasso costante i.