Appunti Matematica per le applicazioni economiche

• Programma
• Flussi di cassa deterministici (certi)
• mutui, rendite, ammortamenti, obbligazioni (bonds, fixed income sector)
• Flussi di cassa non deterministici (incerti)
• investimenti azionari, progetti, piani di investimenti industriali con aleatorietà differenziale
• Scelta di un portafoglio di investimenti

Concetto di flussi di cassa

PB (periodo di base)

tempo

t=₀

(gi)

La scelta della finestra temporale dipende dalla scadenza naturale dell'operazione in questione (giorno, settimana, mese, anno...)

1. cash flow
   • 0
   • -5 pagamento
2. reale flussi di cassa
   • tante operazioni
3. non riportate

Rappresentazioni grafiche dei flussi di cassa "cash flows"

"stream of cash flows" = successione di flussi di cassa

Rappresentazione analitica

• vettore
• _X = (0, 10, -5, +3, +6)
• x₀ x₄ x₂ x₃ x₄
• oppure (0, 10, -5, +3, +6) | (0, 1, 2, 3, 4)
• importi
• tempi reali
• Sono importi monetari
• in qualche valuta

Concetti di base

• Flussi di cassa certi
• Rendimento
• Arbitraggio

Rendimenti di un investimento

L'investimento è l'impiego di un certo capitale iniziale per ottenere di più ad una certa data futura.

1. Es. 1: 300,000 acquisto appartamento → 1 anno dopo 350,000 vendita

   Profitto = 350,000 - 300,000 = 50,000

2. Es. 2: 100,000 compro oro → 117,000

   Profitto = 17,000

L'investimento più redditizio l'ho fatto nell'oro.

Il rendimento è il profitto sul capitale iniziale necessario per aprire l'investimento.

Rendimento = ^profitto/_{cap iniziale}

1. = 50,000/300,000 = 0.166 = 16.6%

   La finanza guarda solo ai rendimenti

2. = 17,000/100,000 = 0.17 = 17%

Il periodo dell'investimento era annuale per entrambi per questo li posso comparare

t_x = 7/10 t

p.i. se è grande meno tempo è ovvio aspettare

es. 12 = 10 x anno

t_x = 7/10 = 7 anni

es. 12 = 7x

t_x = 7/10 = 10 anni

• calcolo IC su finestre di capitalizzazione più piccole dell’anno Composizione dell’interesse su vari intervalli

Capitalizzazione semestrale

V_λ = (1 + 0,5 i₂)² V₀

= V₀ (1 + i₂/2)²

Capitalizzazione quadrimestrale

V_ca = V₀ (1 + i₂/3)³

^|2q/

o 1/3 2/3 1

ogni anuotale.

V_ct = V₀ (1 + i₂/4)⁴

V₀ (1 + i₂/4) (1 + i₂/4) (1 + i₂/4) (1 + i₂/4)

I^o trim

2^o trim

3^o trim

true anno

o 1/u 2/u 3/u 1-u/u

V_λ^(u) = V₀ (1 + i₂/u)^u

(1 + R₁)^t₁ (1 + R₂)^t₂ (1 + R₃)^t₃ = (1 + R_e)^t_e

√1,052,64% = (V₂/_V0)^1/2 - 1 = R_e = 2,58%

R_e = (V₂/V₀)^1/2 - 1

5) Tasso di interesse R = 10%.

Il tasso equivalente a R semestrale, trimestrale, mensile... (1 + R) = (1 + R_sem)^1/2 (perché ci sono due semestri in un anno) 1 + R = (1 + 2_sem) → R_sem = (1 + R)^1/2 - 1 = R_r2 R_trm = (1 + 2)^1/4 - 1 = R_r4 R_m = (1 + 2)^1/12 - 1 = R_r12

R₂ = (1 + 0,1)² - 1 = 4,88%.

Il tasso semestrale 4,88% è equivalente al TAN del 10%.

R₄ = 2,41% R₁₂ = 0,78%

TASSO INTERESSE REALE

P(0) = è il prezzo di 1 kg di pane oggi

P(t) = è il prezzo di un paniere di beni in Italia al tempo t

P(1) = prezzo di 1 kg di pane tra 1 anno

P(1) = (1 + f) P(0) / (con f > 0 = (1 + f) è il tasso di inflazione

P(0) < P(1)

P(0) = P(t) / (1 + f) = (1/f) P(1)

d_infl = 1/(1 + f)

d_infl = 1/(1 + f) fattore di sconto dovuto all'inflazione. è un numero puro.

X_1 = ^−X_0 / _{1 + ℜ}

X_0 e X_1 devono essere operatori di segno opposto, altrimenti non esiste il TIR.

1 + ℜ = ^X_1 / _{X_0}

ℜ ≥ 0 ⟷ −^X_1 / _{X_0} ≥ 0 ⟷ ℜ = −^X_1 / _{X_0} ≥ 0 ⟷ −ℜ ^X_0 > 1

↔ se X_0 > 0 ⟶ −^X_1 / _{X_0}

se X_0 < 0 ⟶ −X_1 < X_0 = ^{(X_1 − X_0)}

Il TIR è verificato, esiste, equivalenza il segno di X_0 è diverso da quello di X_1, e il modulo di X_4

↔ (X_4 − [

Es ↔ X = (2, −3) ℜ 1 unico TIR positivo

X = (−1,2)

2 − 3 = 0 ⟶ ℜ* = ⁻¹ / ₂ − 1 = 0.5 = 50%

−1 − ² / _{1 + ℜ} = 0 ⟶ ℜ* = ⁻² / ₋₁ − 1 = 1 = 100%

VA (X) = 0 → X = (X_0, X_1, ..., X_u)

f(X) = X_0 + ^X_1 / _{1 + ℜ} + ^X_2 / _{(1 + ℜ)^2} + ... + ^X_u / _{(1 + ℜ)^u}

ℜ è l'impronte

f(ℜ) montone → attraversa 1 sole volte l'asse x

Derivata pipne di f(ℜ)

f'(ℜ) = D__{X_0 + ^X_1 / 1 + ℜ + ... + ^X_u / (1 + ℜ)^u}

= ^D_X_0 / ₁ + ^D_X_1 / _{1 + ℜ} + ^D_X_u / _{(1 + ℜ)^u}

= X_1 · ¹ / _{1 + 2} − X_u · ^D_X_u / _{(1 + 2)^u} :

V A_m^(P) = ^A/₁₂ (1 - d^m) = A a_m|12 "a figurato in el tasso"

a_m|12 = ^1-dm/₁₂

V A_m^(a) = ¹/_d V A_m^(P) = (1 + R) V A_m^(P) = A (1 + R) a_m|12 =

= A_m|12

22/04

Rendita posicipata finita

V = V^P_m = V A^P_m = R a_m|12 dove a_m|12 = ^1-dm/₁₂

Rendita anticipata finita

V = V^a_m = V A^a_m = R (1+12) a_m|12 = R ⸍ a_m|12

Esemplazione

Es 1 Finanziaria concede un prestito di 1000€ da ripagare

in 5 anni in rate mensili (formola di pagamento posicipato).

Tasso annuale fisso del 12%.

Valore rata mensile?

Se: V = R a_m|12 5 anni è il periodo di ammormenta del

V= 1000 prestito le rate da pagare sono

1000 = R a_m|12 -> R = ¹⁰⁰⁰/_am|12 12 . 5 = 60 = M

r è il tasso periodale = R menslR _{= Rm}

12% = r₁₂

(1 + R₁₂m)¹² = 1 + r₁₂a = 1.12 -> R_{mi = (1.12)}^1/12 = 1

= 0.01 = 1% che poi è come fare 12%^1/12 - 1)

R = ¹⁰⁰⁰/ _{960 0.01}

Esempio Amort Italiano

QCap: 3000 ÷ 5 = 600

I₁: D₀ x i = 3000 x 0,15 = 450

R = C + I = 1050

I₂ = D₁ x i = 360

Es 1

Per rimborsare 1000€ viene proposto un piano di ammortamento la cui prima riga è data da:

• anno 1: C₁ = 100 I₁ = 30 R₁ = 130 D₁ = 900
• anno 2: 100 27 127 800

i: Δ₁I / D₀ = 0,03