Matematica finanziaria - esercizi, risultati, spiegazioni

Corso di Matematica finanziaria

Eserciziario di Matematica finanziaria

LUISS

Tasso di interesse

Per calcolare il tasso di interesse j(t,s) si può, ad esempio, esprimerlo in termini di fattore di sconto v(t,s), tramite la relazione

j(t,s) = _{xs - xt}/^x_tv(t,s) =

₁/^v(t,s) - 1

da cui

j(0, 1/2) = ₁/^{v(0, 1/2)} - 1 = 0.00094

Intensità di interesse

L'intensità di interesse γ(t, s) può essere calcolata, ad esempio, dopo averla espressa in termini del fattore monetario m(t, s), tramite la relazione

γ(t, s) = _{xt - xsm(t, s)}/^{x_t - x_s} =

m(s, t) - 1

da cui

γ(0, 1/2) = _{ln m(0, 1/2)}/^1/2 = 0.00188 anni⁻¹

Intensità istantanea di interesse

L'intensità istantanea di interesse δ(t, s) può essere espressa direttamente in funzione dell'intensità di rendimento a scadenza h(t, s),

δ(t, s) = _{h(t, s) - m^{-ln(v(t,s)/s)}}/^{∂ ∂s ln h(t, s)}

Nel caso in esame, si ha, pertanto

δ(0, s) = _∂/^∂s _{(as + bs) = ∂}^∂s _{(as + bs)} = a + 2bs

da cui

δ(0, 1/2) = a + ₁/² b = a + b = 0.00225 anni⁻¹

3 Valore di contratti finanziari con flusso noto

Riferimenti bibliografici: [CDM] Cap. 7

Esercizio 3.1

Si determini, nell'istante di valutazione t = 0, il valore del flusso di importi:

x/t = (100, 200, 300) / (t₁, t₂, t₃)

sappendo che

v(0, t₁) = 0.98350,

v(0, t₂) = 0.96250,

v(0, t₃) = 0.94167.

Soluzione

Il valore in t = 0 del flusso x è:

W(0; x) = _{W(0;t1;x1) + W(0;t2;x2) + W(0;t3;x3)}

= v(0;t₁;x₁) + v(0;t₂;x₂) + v(0;t₃;x₃) = 573.35100 €.

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5 Il tasso interno di rendimento

Riferimenti bibliografici: [CDM] Cap.6

Esercizio 5.1

Calcolare il tasso interno di rendimento i* del contratto finanziario:

x/t ={−85, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 93}/{0, 0.5, ..., 4},

essendo il tempo espresso in anni. Calcolare quindi il valore residuo del contratto nell'istante H = 0.75 anni in base alla legge esponenziale individuata da i*.

Soluzione

Il contratto finanziario è un titolo a cedola fissa di durata 4 anni, con capitale nominale C = 85 e cedola semestrale I = 8 che equo alla pari. Quindi il tasso interno di rendimento su base semestrale è uguale al tasso cedolare, dato da:

I/C = 85 = 9.411765%;

il tasso interno di rendimento su base annua risulta:

i* = (1 + ^I/_C)² − 1 = 19.70394%.

Il valore di un contratto finanziario in un qualsiasi istante di tempo H (t₀ ≤ H ≤ t_n) può essere scomposto nella somma del montante delle poste scadute fino a H, M(H;x), e del valore del flusso residuo delle poste ancora scadute H_R(H;x), si ha:

V(H;x) = M(H;x) + H_R(H;x) = ∑_{ti ≤ t} x_m(H,ti)(H,t_i) + H_R(H;x);

espezzando l'operazione finanziaria come equo scaduta scompaiono i coefficienti a_i (W(H;x) = 0), risulta:

M(H;x) = −R(H;x);

e quindi si ottiene:

R(0.75;x) = −[85(1 + i*)^0.75 + 8(1 + i*)^0.75−0.5] = 88.91007 €.

Esercizio 5.2

Calcolare il tasso interno di rendimento i* del contratto finanziario:

x/t = {−45, −40, 100}/{0, 1, 2}

essendo il tempo espresso in anni. Determinare, inoltre, l'importo Δ_z1 che bisogna sommare alla prima posta del flusso affinché il tasso interno di rendimento della nuova operazione finanziaria sia i* = 12%.

Soluzione

Il tasso interno di rendimento i* si determina risolvendo l'equazione del secondo grado nell'incognita x:

100x² - 40x − 45 = 0,

che ammette due soluzioni reali e distintive: i₁ = 0.9 ≈ −0.5. La soluzione finanziariamente significativa è i₁ = 0.9, pertanto:

i* = v_i⁻¹ − 1 = 11.11111%,

espresso su base annua.

L’importo Δ_z1 da sommare alla prima posta del flusso affinché il tasso interno di rendimento sia uguale al 12%, si determina risolvendo l'equazione di primo grado:

(−45 + Δ_z1) x 1.001(1.2)⁻¹ + 100(1.2)⁻² = 0,

nell’incognita Δ_z1; risulta Δ_z1 = 0.99490 €.

La struttura per scadenza dei tassi di interesse

Essendo:

δ(0, s) = − ^d/_ds log v(0, s)

si ricava l'espressione:

δ(0, s) = k / 1 − ks

da cui:

• δ(0, 1) = 0.07527 anni⁻¹
• δ(0, 2) = 0.08140 anni⁻¹
• δ(0, 3) = 0.08661 anni⁻¹

La struttura dell'intensità di rendimento a scadenza su base annua può essere calcolata con la formula:

h(0, s) = log [1 + i(0, s)]

quindi si ha:

• h(0, 1) = 0.07527 anni⁻¹
• h(0, 2) = 0.08141 anni⁻¹
• h(0, 3) = 0.07857 anni⁻¹

Esercizio 6.4

Si consideri, nell'istante di valutazione t = 0, un mercato descritto dalla funzione intensità istantanea di interesse:

δ(0, s) = 0.06 − 0.0025s, per ogni s ≥ 0.

In riferimento allo scenario {1,2,3} anni, si determinino le strutture per scadenza dei tassi di interesse a pronti e tassi di interesse a termine uniperiodali, esprimendo i tassi su base annua.

Soluzione

L'espressione del tasso di interesse in funzione dell'intensità istantanea di interesse si ricava a partire dalle espressioni:

m(0, s) = e^{∫₀s δ(0,u)du} = [1 + i(0, s)]^1/_n,

da cui:

i(0, s) = e^{∫₀s δ(0,u)du} − 1;

per s = 1, 2, 3, si ricava la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti su base annua.

I tassi a termine uniperiodali si ottengono dalla:

i(0, s − 1 → s) = [1 + i(0, s)] / [1 + i(0, s − 1)]^1/_n − 1,

ancora per s = 1,2,3.

Si ottiene:

• i(0, 1) = 0.650101 %; i(0, 0, 1) = 0.650101 %;
• i(0, 2) = 5.91853 %; i(0, 1, 2) = 5.78621 %;
• i(0, 3) = 5.78621 %; i(0, 2, 3) = 5.52208 %;

Esercizio 6.5

Si consideri, nell'istante di valutazione t = 0, un mercato descritto dalla funzione intensità istantanea di interesse:

δ(0, s) = α + β² + γ³, con s > 0;

essendo il tempo espresso in anni, con α = 0.075, β = 0.0029 e γ = 0.0003.

In riferimento allo scenario {1,2,3} anni, si determinino le intensità di rendimento a scadenza a pronti e i tassi di interesse a pronti, esprimendo i tassi su base annua.