Matematica finanziaria - Esercizi

Soluzioni

Domande

Vedi dispense.

Domanda 2(c):

2 2 2

σ [X + 2Y ] = σ [X] + σ [2Y ] + 2cov[X, 2Y ]

2 2

= σ [X] + 4σ [Y ] + 4cov[X, Y ] (proprietà di varianze e covarianze)

2 2

= σ [X] + 4σ [Y ] + 4ρ[X, Y ]σ[X]σ[Y ]

· · · ·

= 4 + 4 9 + 4 0.5 2 3 = 52,

√

da cui σ[X + 2Y ] = 52 = 7.21

Esercizi

1. La rata (costante) R è 20000 20000

R = = = 6039

C (i ) 3.312

4 e − −

Utilizzando le relazioni QI = i x , QC = R QI e x = x QC si costruisce la

e

k k k k k k−1 k

seguente tabella di ammortamento

k t R QI QC x

k k k k k

0 0 0 0 0 20000

1 1 6039 1600 4439 15561

2 2 6039 1245 4794 10767

3 3 6039 861 5178 5589

4 4 6039 447 5592 -3

∗

2. (a) Ponendo α = 0.2 si ottiene ρ = 2.21 > 1 per cui non esiste alcun ρ con la proprietà

cercata. −15.12%)

(b) Il MVP è (115.12%, che ha rendimento atteso 3.94% e volatilità 9.80%.

(c) La risposta è: No, non esistono portafogli con le proprietà cercate. Si poteva:

• Determinare numericamente i portafogli con volatilità 25% e osservare che entrambi

prevedono vendite allo scoperto. Oppure

• → 2

Osservare che la funzione α σ (α) è convessa e dunque

6 ∀α ∈

2 2 2

σ (α) max{σ (0), σ (1)} [0, 1]

(il massimo di una funzione convessa è raggiunto agli estremi di un intervallo).

Passando alle deviazioni standard

6 ∀α ∈

σ(α) max{σ(0), σ(1)} = max{18%, 10%} = 18% < 25% [0, 1],

da cui si conclude. Commento fuori soluzione: il tutto è indipendente da ρ ed è

la formalizzazione del fatto intuitivo che investendo in due asset, senza vendite allo

scoperto, non si può avere un portafoglio più rischioso dell’asset più rischioso.