Matematica finanziaria: esercitazioni svolte della prof.ssa Stefani

ESERCIZI DA SVOLGERE LEZ 12

a) PREZZO ACQUISTO = 3750

PREZZO VENDITA = 3942

[3 MESI DOPO]

TASSO DI SCONTO e TASSO DI INTERESSE

• d(t) = ^M-C/_M

d(t) = ^3942-3750/₃₉₄₂ = 0,0487

• i(t) = ^M-C/_C

i(t) = ^3942-3750/₃₇₅₀ = 0,0512

2) FUNZIONE: f(t) = ^{t α+1}/_α+1

FATTORE DI MONTANTE PER CONV EX. 1

1. PER QUALI VALORI DI α f(t) è FATTORE DI M

• 3 CONDIZIONI: FUNZIONE DEFINITA PER [0,T]
• f(0) = 1
• NON DECRESCENTE (SE DERIVABILE f'(t) > 0)

1. α + t ≠ 0 α ≠ -t → QUINDI DEFINITA PER [0;T]
2. f(0) = ^0+α+1/_α+1 = ¹/₁ = 1
3. f'(t) = ¹/_α+1 f'(t) > 0 ∀ α ≠ -1

1. b) SI DETERMINI PER QUALE VALORE DI α IL TASSO UNITARIO DI INTERESSE E' DEL 4%

TASSO UNITARIO DI INTERESSE E' DATO DA:

i(t) = f(t)-1 = ¹/_α+1-1 = ¹/_α+1-^α+1/_α+1

È UGUALE AL 4% SOLO PER ¹/_α+1-1 = 0,04

¹/_α+1 = 0,04 + 1

¹/_α+1 = 0,04

→ α = 0,04 α ≠ 0,04

0,96/_0,04 = 2¼ = α &cupveedownarrow;

3) FUNZIONE

f(t) =

• a₁/₂₀t se 0 ≤ t ≤ ½
• 1 se ½ < t ≤ T
• (a₁/(a₂ - a₁))t + a₂/(a₂ - a₁) se ½ < t ≤ T

a) f(t) è atta a rappresentare un fattore di montante? Se sì, determinare l'orizzonte temporale T.

FATTORE DI MONTANTE SE =>

• definita per t ∈ [0;T]
• f(0) = 1
• non decrescente, se derivabile f'(t) ≥ 0

- ORIZZONTE T:

• 1 - a₂/a₁ ≠ 0 ⇒ t ≠ a₁/a₂ ⇒ ORIZZ. T: 20,5

- f(0) = a₁

• a₁/₂₀t ⇒ a₁
• a₁/(a₂ - a₁) * 0 + a₂/(a₂ - a₁) ⇒ 1

- f'(t) =

• a₁/₂₀ ≥ 0 per 0 ≤ t ≤ ½
• a₁/(a₂ - a₁) ≥ 0 (a₁ - a₂)a₂/(a₂ - a₁) ≥ 0 per ½ < t ≤ T

l è atta a rappr. fattore di montante

b) TASSO UNITARIO DI INTERESSE

i = (l'(t) =)f(t) - a₁ = 1

• a₁/(a₂ - a₁) - 1 = 39

b2) TASSO UNITARIO DI SCONTO

d = (d₁(₂) =)f(₁(t) - a₁) = 1

• ₁/(t)₁ - 1 = ₂/₄₁ = ₁ ₂/₄₁ = ₀.₀₄₈₇₈ = ₄,₈₇₈%

8)

VALORE ATTUALE IN SCONTO SEMPLICE AL TASSO 4%

• 1000 OGGI
• 2000 + INT AL 5% FRA 6 MESI
• 3000 + INT AL 6% FRA 1 ANNO

t=0   C=1000

t=1/2   M₁=2000 (1+0,05∙0,5) = 2050

t=1   M₂=3000 (1+0,06) = 3180

V = C + ^M₁⁄_(1+i∙t) + ^M₂⁄_(1+i∙t) = ...

= 2050/1,04^0,5 + 3180/1,04   = 6063,50

ATTENZIONE AL TASSO

DI SCONTO CHE È IL 4%

9)

A PARITÀ DI TASSO, È PIÙ CONVENIENTE INVESTIRE IN REGIME SEMPLICE O IN REGIME COMPOSTO?

DIPENDE DAL TEMPO!

10)

REGIME COMPOSTO. CAPIT. DI 13.200 IN 4 ANNI PRODUCE UN MONTANTE DI 15.000

TROVARE i₄ = TASSO INT. TRIMESTRALE

4 ANNI = 16 TRIMESTRI

M = C (1+i)^t

⇒ 15.000 = 13.200 (1+i_t)¹⁶

⇒ (1+i_t)¹⁶ = 1,136

1+i_t = 1,136^1⁄16

1+i_t = 1,00802

i₄ = 0,00802 = 0,802%

3) Fattore di montante

f(t) = 1,05t - 0,006t²

a) Forza di interesse

δ(t) = f'(t) / f(t) = (0,5 - 0,012t) / (1,05t - 0,006t²)

b) Tasso di m. unitario

u = f'(t) - λ = 0,5 - 0,006 - λ = 0,494

c) Tasso di sconto unitario

d = i / (1+i) = 0,494 / 1,494 = 0,3306

d) Collocare M di un capitale C di 1500 utilizzando il reg. f(t). Dopo 6 mesi.

Montante generico al tempo t è dato di M(t) = C f(t)

M = 1500 f(t) = 1500 (1+0,5(1/2) - 0,006(1/2)²) = 1487,5

[Sono solo 6 mesi quindi f(1/2)]

4) Fattore di montante

f(t) = e^t/3

La legge è scindibile?

a) Trovare la forza di interesse

δ(t) = f'(t) / f(t)

f(t) = 2t/6 e^t/6

δ(t) = 2t/6 (e^t/6) / e^t/3 = 2t/6 - 1/3

⇒ La legge non è scindibile poiché la forza di interesse dipende dal tempo t, ovvero non è costante nel tempo.

13)

3 debiti saldati oggi con unico vers. di 25000 € Ogni debito è il doppio del precedente Scadono rispettivamente tra 6 mesi, 1 anno e 8 mesi, 3 anni; Tasso di valutazione 3% ⇒ trovare l’importo dei 3 debiti.

1° debito = C₁ 2° debito = C₂ = 2C₁ 3° debito = C₃ = 2 C₂ = 4C₁

25000 = C₁(1+0,03)^-6/12 + 2C₁(1+0,03)^-20/12 + 4C₁(1+0,03)^-36/12

Da cui si ricava C₁ = 3875,11 C₂ = 3875,11x2 = 7750,22 C₃ = 3875,11x4 = 15500,44

14)

4 somme di denaro di 3750 € l’una con scadenze fra 1 anno, 2 anni, 3 anni, 4 anni Pago 2 versam uguali, uno fra 18 mesi e l’altro fra 2 anni e 3 mesi Tasso trim. composto del 2%

Valore attuale dei 4 singoli versamenti che avrei dovuto fare ⇒

VA = 3750(1,02)^-4 = 3464,420348 3750(1,02)^-8 = 3200,528892 3750(1,02)^-12 = 2966,840536 3750(1,02)^-16 = 2743,674803

12353,53 € ∀

Si può trovare anche utilizzando la formula del valore attuale della rendita temporanea a rate costanti, immediata e posticipata.

VA = R * a_ni = B * (1-(1+i)^-n)/i

c) La duration (o scadenza media finanziaria) è la media ponderata delle scadenze aventi per pesi i valori attuali delle rate.

D = ^{t₁ R₁ (1+i)-t₁ + t₂ R₂ (1+i)-t₂ + t₃ R₃ (1+i)-t₃ + t₄ R₄ (1+i)-t₄ + ...} / _{R2 (1+i)^-t1 + R2 (1+i)^-t2 + R3 (1+i)^-t3 + R4 (1+i)^-t4 + ...}

D = ^{0.50 + 2.200 (1+0,06)-1 + 3,5 200 (1+0,06)-5 + 6.400 (1+0,06)-6} / _{50 + 200 (1,06)^-1 + 200 (1,06)^-5 + 400 (1,06)^-6} =

D = ^{0+ 355,995367 + 50,85 + 237,6 + 1691.305297} / _{50 + 177.999828 + 163.102069 + 284.5882162} =

D = ^2618,156111 / _673,0855721

D = 3,880680798

f) 1/2 rate R = 12000€ annue, M = 160.000€

Calcolare : nel regime semplice

Montante di una rendita immediata e posticipata in reg. semplice —> M = Rm [1+(m-a) ⁱ/₂ ]

Si ha —> 160.000 = 12.000 12 [1 + M ⁱ/₂ ] —> —> 0,0202 —> i = 2,02%

b) Rendita sem posticipata, costituita da m rate da €800 i = 5% M = 3720 —> Trovare m

a) Trasformare tasso annuo effettivo in tasso semestrale

Lk = ^(1+ik)1/k - 1 = ^{(1+i)1/2 -1}

(1,05)^1/2 = √(1,05) -1 = 0,024695