Linee di trasmissione - Esercizi

III LINEE DI TRASMISSIONE

La propagazione in una linea di trasmissione omogenea è retta dalle equazioni⁽¹⁾

dove L, R, C, G sono dette costanti primarie e k, Z₀ costanti secondarie. In particolare

Se assumiamo R ≪ ωL, G ≪ ωC (piccole perdite) allora

Se R/L = G/C (condizione di Heaviside) allora Z₀ è reale (qualunque sia l'entità de perdite)

La soluzione del sistema di equazioni può essere espressa nelle due forme equivalenti (progressiva e stazionaria)

• Tra le costanti di integrazione valgono le relazioni.

Il rapporto

è l'impedenza, alla ascissa z, del tratto a valle di tale ascissa (con la convenzione dell'utilizzatore).

⁽¹⁾ La corrente è assunta, per convenzione, positiva nella direzione positiva dell'asse z

LINEE DI TRASMISSIONE

In presenza di una discontinuità delle caratteristiche della linea sia V(z), I(z), sia Z(z) sono funzioni continue. Se però tra due tratti di linea (di caratteristiche uguali o diverse) sono presenti impedenze e/o generatori concentrati, le condizioni di raccordo si ottengono applicando i principi di kirchhoff alla discontinuità (che per ipotesi ha dimensioni trascurabili).

L’impedenza di ingresso di un tratto di linea omogeneo, di lunghezza l, è chiuso su un carico Z_c, vale

Z_in = Z₀ ^{Z_c + jZ₀ tg kl}/_{Z0 + jZc kl}

(formula del “trasporto dell’impedenza”) ed è indipendente dalla direzione scelta per l’asse z (Z_in è sempre definita con la convezione dell’utilizzatore).

Si definisce coefficiente di riflessione il rapporto

Γ(z) = ^V-e-jβz/_V⁺e^-jβz = ^{Z(z) - Z₀}/_{Z(z) + Z0}

Per una linea omogenea |Γ(z)| è costante

Γ(z) = Γ(0)e^+2jβz

Invece oltre una discontinuità Γ(z) è discontinuo (in quanto varia l’impedenza caratteristica).

Si definisce rapporto d’onda stazionaria la quantità

ROS = ^{1 + |Γ|}/_{1 - |Γ|}

costante su una linea omogenea. Possiamo anche definire, per una discontinuità, un coefficiente di trasmissione

T = ^V₂(0)/_V⁺1 = 1 + Γ = ^2Z_in/_{Zin + Z0}

(Se la seconda linea è illimitata, allora T = ^V+₂/_V⁺1). E’ anche facile vedere che il valore massimo e minimo di V(z) e I(z) sono dati da V⁺(1 ± |Γ|), V⁺/_Z0(1 ± |Γ|) e si hanno nei punti in cui |Γ(z)| è reale. L’energia immagazzinata in una linea è pari a

¹/₄ L ∫ |I(z)|² dz + ¹/₄ C ∫ |V(z)|² dz

Il flusso di potenza complessa su una linea omogenea è

P_c(z) = ¹/₂ V(z)I(z) = ¹/₂ Z(z)|I(z)|² = - ¹/_2Z(z) {|V(z)|}²

ovvero in termini di Γ(z)

P_c(z) = ¹/_2Z0 {|V⁺|}² {(1 - |Γ|²) + 2jI_m[Γ(z)]}

LINEE DI TRASMISSIONE

λ = 20 cm; I = 3 A; l = 50 cm; Z₁ = 50 Ω; Z₂ = 300 Ω

La linea in figura ha Z₀ = 51.5 Ω, β = 0.0997 m⁻¹ ed α/β = 0.0167 ed è chiusa su un carico Z_L = (150 - j120) Ω.

Sapendo che la linea è lunga ℓ = 250 m e che all’ingresso (z = 0) la tensione è V_s = 30 V, calcolare V⁺ e V^-. Calcolare inoltre il coefficiente di riflessione per z = 0.

Per definizione V(0) = V⁺ + V^- ed essendo V^- = Γ(0)V⁺ si ha

V⁺ = ^V_s/_{1 + Γ(0)}

V^- = Γ(0)^V_s/_{1 + Γ(0)}

Il coefficiente di riflessione sul carico vale

Γ_L = ^{Z_L - Z₀}/_{ZL + Z0} = 0.623 - j0.225 = 0.662e^-j0.346

Poiché la linea è omogenea allora

Γ(0) = Γ_Le^-2βℓ = (0.662e^-0.2αℓ)e^{(-j0.346 - 2βℓ)}

sviluppando si ha, essendo 2αℓ = 0.832 e 2βℓ = 49.9

Γ(0) = 0.288e^+j0.069 = 0.287 + j0.020

V⁺ = 23.3e^+j0.016V

V^- = 6.69e^+j0.016V

N.B. In alternativa è possibile calcolare V⁺ e V^- tramite V(0) e Γ(0). Tuttavia è più semplice trasportare lungo una linea con perdite il coefficiente di riflessione che l’impedenza.

LINEE DI TRASMISSIONE

Il coefficiente di riflessione sul carico vale

Γ_C = ^{Z'''' - Z₀}/_{Z^'''' + Z0} = 0.859 / 66.4°

Il ROS è dato da

ROS = ^{1 + |Γ_C|}/_{1 - |ΓC|} = 13.2

L 11 Data la linea in figura, priva di perdite, con impedenza caratteristica Z₀ = 10 Ω, e il carico costituito da una pura conduttanza G = 0.01 S, determinare la distanza e la lunghezza del tratto di linea in corto circuito in modo che il coefficiente di riflessione nella sezione A A’ sia nullo. f = 30 MHz

♢♢♢

Traccia: Se il coefficiente di riflessione Γ è nullo in AA’, è nullo in tutta la linea a monte del tratto di linea in parallelo. Basta perciò imporre Γ = 0 nella sezione immediatamente a sinistra della diramazione BB’.

Si cerca la distanza d tale che l’ ammettenza in questa sezione sia pari a Y₀ + jB; ciò è sempre possibile. Difatti dalla formula del trasporto dell’ ammettenza

Y(d) = Y₀ ^{Y_L + jY₀ tg βd}/_{Y0 + jYL tg βd}

si impone che

Y(d) = Y₀ + jB

quando Y_L = G.

Si ha

Y₀(G + jY₀ tg kd) = (Y₀ + jB)(Y₀ + jG tg kd)

da cui uguagliando parte reale e coefficiente dell’immaginario e risolvendo il sistema in tg kd e B si ottiene

LINEE DI TRASMISSIONE

Posto X = tg βz, l'impedenza di ingresso del tratto di linea vale

Z_IN = Z₀ R + jωX ^{R_IN = ReZ_IN =} (1)

La potenza consegnata al carico è pari a quella in ingresso alla linea e vale

P_C = ^{|V|2 |V|22RP(X)}

dove

P(X) = ^{1 + X2} è la grandezza da massimizzare. La sua derivata vale

• X ^{Z₀2(R + R_g)2 + (RR_g + Z₀2)2X2 - ( RR_g + Z₀ 2)2(1 + X2)}

P(0) = ¹ _{Z0² (R + Rg)²}

P(±∞) = ¹ _{(RRg + Z0²)}

Ne segue che se Z₀(R + R_g) < RR_g + Z₀², allora X = 0 ⇒ z = 0, altrimenti X = ±∞ ⇒ z = λ/4.

L 18 Determinare i valori minimi di x, y ed il valore di X in modo che i due carichi assorbano la stessa potenza e che la somma di tali potenze sia massima.