Appunti sulle linee di trasmissione

Linee di Trasmissione

Considerate allora le equazioni 11.1 e 11.2, si definisce impedenza d'ingresso della linea, incorrispondenza alla sezione z, il rapporto tra la tensione e la corrente corrispondenti alla stessa sezione, ossia

In pratica il significato dell'impedenza d'ingresso è il seguente (seguendo il sistema di riferimento adottato). Per z = 0 il carico visto dalla linea di trasmissione è proprio Zcarico; ad una distanza z invece la linea non vede più solo Zc, ma la cascata formata da Zc e dal tratto di linea lungo z che ci separa da Zc. Con opportuni passaggi matematici si può arrivare a scrivere l'equazione dell'impedenza d'ingresso come: γηγ̇⋅⋅+⋅⋅cosh( ) ( )Z z senh zcη=Z i ηγγ̇⋅⋅+⋅⋅cosh( ) ( )z Z senh zcO ancora dividendo il tutto per il coseno iperbolico si ottieneηγ+⋅⋅tanh( )Z

ζ=a) Z i η γ+ ⋅ ⋅tanh( )Z zc

Casi particolari d’impedenza d’ingresso

Nel paragrafo precedente si è data la definizione di impedenza d’ingresso generale, la quale è data dall’espressione a). Si esaminerà adesso qualche caso particolare, per osservare come cambia l’espressione dell’impedenza d’ingresso. Il primo caso che si prenderà in considerazione sarà il caso privo di perdite (vedi linea prive di perdite pag. 5). Di particolar interesse è il fatto che la costante di γ propagazione diventa un numero immaginario puro: questo fatto implica che l’andamento della tensione e della corrente non è più descritto dalle funzioni seno iperbolico e coseno iperbolico, ma da seni e coseni semplici: in questo caso l’espressione della Zin diventa:

β η β⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅cos( ) sin( )Z z j zcη= ⋅( )Z zin η β β⋅

• ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅cos( ) sin( )z j Z zc
• Un secondo caso di notevole importanza è porre l'impedenza di carico come un cortocircuito Zc=0.
• Dall'espressione a) si ricava immediatamente che la Zing assume la seguente forma: η β= ⋅ ⋅tanh( )Z zin
• Nel caso di perdite nulle η β= ⋅ ⋅ ⋅tan( )Z j zin
• Il terzo caso è quello di porre Zc= . In questo caso l'impedenza d'ingresso diventa: ∞ Linee di Trasmissione 8Ippolito Giancarlo γ η γ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅cosh( ) ( )Z z senh zc
• η=Z i η γ γ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅cosh( ) ( )z Z senh zc
• Dividendo tutti i termini per Zc: ηγ γ⋅ + ⋅ ⋅cosh( ) sinh( )z zZcη= ⋅Z in η γ γ⋅ ⋅ + ⋅cosh( ) sinh( )z zZc
• Passando al limite per Zc che tende a infinito si ottiene l'espressione di Zin che si cercava: η γ= ⋅ ⋅cot ( )Z gh zin
• Senza perdite

si ottiene la forma analoga: η β = - · · ·cot( )Z j g zin Condizioni al contorno: calcolo di V+ e V- Questo paragrafo ha lo scopo di illustrare il procedimento per il calcolo dei coefficienti V+ e V- partendo dal sistema d'equazioni seguente: Qui di seguito vengono riportati tutti i passaggi matematici: si prenda in considerazione la seconda delle due equazioni Ora che la seconda equazione è stata ordinata, la si può riscrivere sotto forma matriciale Linee di Trasmissione 9 Ippolito Giancarlo Tramite il metodo di Kramer si trovano le soluzioni seguenti: Adattamento d'impedenza Come osservato in precedenza la propagazione all'interno di una linea di trasmissione avviene tramite onde riflesse e onde incidenti, le quali sommandosi danno luogo ad un'onda stazionaria. L'onda stazionaria ha la caratteristica di avere dei punti di massimo detti ventri e dei punti di minimo detti nodi che non variano lungo la linea: in particolare

dove c'è un ventre di tensione esiste un nodo di corrente e viceversa. Inoltre: λ/4; la distanza tra un ventre e un nodo di tensione o corrente è di

1. λ/2
2. la distanza tra due ventri o due nodi di tensione o corrente è pari a

La propagazione di onde stazionarie all'interno di una linea di trasmissione deve essere eliminata, in particolare non si deve propagare l'onda riflessa in quanto:

1. parte dell'energia non viene assorbita dal carico, ma viene riflessa e le perdite corrispondenti all'onda riflessa diminuiscono il rendimento della trasmissione.
2. la presenza di onde riflesse da luogo a errori di misure.
3. Nei punti di ventre la tensione può superare il valore della tensione massima di linea.

L'adattamento consiste nell'eliminare l'onda riflessa e di conseguenza l'onda stazionaria. Il concetto fondamentale è che il generatore d'ingresso deve vedere nel carico un'impedenza

riflessione è definito come il rapporto tra la tensione riflessa e la tensione incidente. Può essere espresso come un numero complesso, con modulo e fase. Il modulo del coefficiente di riflessione tende a zero all'aumentare della distanza dal carico. Il coefficiente di riflessione dipende dal carico e dall'impedenza caratteristica della linea. Se l'impedenza di carico è uguale all'impedenza caratteristica della linea, il coefficiente di riflessione si annulla e non c'è onda riflessa lungo la linea.

Riflessione della tensione è uguale al coefficiente di riflessione della corrente cambiato di segno; questo perché è vera la relazione 10.

Oltre al coefficiente di riflessione si può definire anche un coefficiente di trasmissione t: Si ha allora questa uguaglianza valida sia per la tensione che per la corrente:

Linee di trasmissione non uniformi (LTNU)

All'inizio si è supposto che le costanti distribuite R, C, G, L fossero costanti per ogni elementino dz della linea di trasmissione, cioè in qualsiasi tratto di linea che si vuole considerare le costanti sono le stesse. Nella realtà capita spesso che le linee di trasmissione non sono parallele tra di loro ma sono disposte in modo tale che la loro distanza non sia uniforme lungo la direzione z.

Linee di Trasmissione 11

Ippolito Giancarlo

Fig 5 La distanza tra i due conduttori non è uniforme lungo la direzione di z

Di conseguenza per ogni tratto dz della linea le costanti non sono uniformi

dunque le impedenzecaratteristiche sono funzioni di z. Nella forma le equazioni delle linee rimangono esattamente lestesse, ma nel contenuto le impedenze diventano Z=Z(z) funzioni variabili in z.Procedendo come fatto per le linee LTU deriviamo la 20 e teniamo conto della 21 (viceversa per lacorrente); con questo passaggio troviamo l'equazione delle linee:I terminiPossono essere scritti come:Dove X(z) può essere Z(z) o Y(z). Si noti come la 22 e la 23 si possono ricondurre al caso di lineaLTU in quanto se Z e Y non dipendono dalla variabile z le loro derivate si annullanoriconducendosi alle 3. Linee di Trasmissione 12Ippolito Giancarlo3) Data la linea di trasmissione LTNU caratterizzata dall'espressione 22), determinare l'espressionedell'impedenza d'ingresso sapendo che: -z z ηη η = · = · ( )Z z( ) ( )Z z e Z z e1) 2) 3) α ·- zz ze e =( ) cos( )Y z= =( ) ( )Y z Y z ηη ηSupporre una linea di

trasmissione lunga L con Zc=βη.graficare il modulo e la fase di Zin nei quattro casi fissando opportuni valori e commentare.

5) Data la linea di figura calcolare l’andamento dell’ampiezza della tensione e della corrente lungo la linea (grafico del modulo di V e I) e l’andamento dell’impedenza Zin(z): si supponga la linea priva di perdite.

∆6) Data una linea LTU lunga caratterizzata dalla matrice Z:

     

V Z Z I

1 11 12 1

= ⋅

     

V Z Z I

  2 21 22 2

Calcolare le espressioni delle Zxx. Linee di Trasmissione 13

Ippolito Giancarlo Esercizio numero 6

L’esercizio numero 6 chiede di calcolare le espressioni delle quattro impedenze della matrice Z. In questo caso quello che conviene fare e scrivere la matrice sotto forma di sistema a due equazioni e questo è possibile se si svolge il prodotto tra matrici. Il sistema che ne viene fuori è il seguente:

 = ⋅ + ⋅

V Z I Z I

1 11 1 12 2



= ⋅ + ⋅V Z I Z I 2 21 1 22 2L'impedenze saranno date dal rapporto tra una tensione ed una corrente in un certo caso particolare:

1. V1= = 01) Z I11 2I 1l'impedenza Z è data dal rapporto tra la tensione e la corrente d'ingresso quando la corrente11d'uscita è nulla. V1= =
2. 2) 0Z I12 1I 2L'impedenza Z è data dal rapporto tra la tensione d'ingresso e la corrente d'uscita quando la22corrente d'ingresso è nulla. V 2= =
3. 3) 0Z I21 2I 1L'impedenza Z è data dal rapporto tra la tensione d'uscita e la corrente d'ingresso quando la21corrente d'uscita risulta nulla. V 2= =
4. 4) 0Z I22 1I 2L'impedenza Z è data dal rapporto tra la tensione d'uscita e la corrente d'uscita quando la corrente22d'ingresso è nulla.

Ciò che bisogna fare adesso è capire chi sono V , V , I , I : essi sono rispettivamente le tensioni e le1 2 1 2correnti

d'ingresso e d'uscita della linea di trasmissione. Il testo dell'esercizio fornisce la lunghezza ∆. Allora V e I saranno la tensione e la corrente alla quota della linea, la quale risulta e